Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của m

Gọi \(y\) là chiều dài của miếng phụ.

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là \(S = {S_{MNPQ}} + 4xy\).

Cạnh hình vuông \(MN = \frac{{MP}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{40}}{{\sqrt 2 }} = 20\sqrt 2 \)cm \( \Rightarrow S = {(20\sqrt 2 )^2} + 4xy = 800 + 4xy\)

Ta có \(2x = AB - MN = AB - 20\sqrt 2  < BD - 20\sqrt 2  = 40 - 20\sqrt 2  \Rightarrow 0 < x < 20 - 10\sqrt 2 \).

Lại có \(A{B^2} + A{D^2} = B{D^2} = {40^2} \Rightarrow {(2x + 20\sqrt 2 )^2} + {y^2} = 1600\).

Thế vào (1), ta được

\(S = 800 + 4x\sqrt {800 - 80x\sqrt 2  - 4{x^2}}  = 800 + 4\sqrt {800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2  - 4{x^4}} \)

Xét hàm số \(f(x) = 800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2  - 4{x^4}\), với \(x \in (0;20 - 10\sqrt 2 )\) có

\({f^\prime }(x) = 1600x - 240{x^2}\sqrt 2  - 16{x^3} = 16x\left( {100 - 15x\sqrt 2  - {x^2}} \right)\).

Ta có bảng biến thiên

Vậy \(x = \frac{{5\sqrt {34}  - 15\sqrt 2 }}{2} \approx 3,97\) chính là giá trị cần tìm.