Từ một khúc gỗ hình trụ cao 15 cm, người ta tiện thành một hình nón có thể tích lớn nhất có chiều cao và bán kính đáy bằng chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Biết phần gỗ bỏ đi có thể tí

a) Gọi bán kính của khúc gỗ hình trụ ban đầu là: \(R\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) (\(R > 0\))

Thể tích hình trụ ban đầu là: \({V_1} = \pi {R^2}\,\, \cdot \,\,h = 15\pi \,\, \cdot \,\,{R^2}\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)

Hình nón có thể tích lớn nhất nên hình nón có \(1\) đáy là đáy của hình trụ ban đầu và chiều cao là chiều cao hình trụ.

Thể tích hình nón là:

\({V_2} = \frac{1}{3}\pi \,\, \cdot \,\,{R^2}\,\, \cdot \,\,h = \frac{1}{3}\pi \,\, \cdot \,\,{R^2}\,\, \cdot \,\,15 = 5\pi {R^2}\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)

Vì phần gỗ bỏ đi có thể tích là \(640\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nên:

\({V_1} - {V_2} = 640\pi \)

\(10\pi {R^2} = 640\pi \)

\({R^2} = 64\)

\(R = 8\;({\rm{cm}})\)

\({V_1} = 15\pi {R^2} = 960\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)

Vậy thể tích khúc gỗ hình trụ là \(960\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)

b) Gọi đường sinh của hình nón là \(l{\rm{ }}({\rm{cm}})\)

Ta có \({l^2} = {R^2} + {h^2} = {8^2} + {15^2} = 289\)

\(l = 17\;({\rm{cm}})\)

\({S_{xq}} = \pi Rl = \pi \,\, \cdot \,\,8\,\, \cdot \,\,17 = 136\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^2})\)

Diện tích xung quanh hình nón là: \(136\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^2})\).