Từ một hộp chứa 12 quả cầu, trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy ngẫu nhiên 3 quả. Số cách để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu bằng:

Trường hợp 1: Lấy \(1\) quả màu vàng và \(2\) quả màu đỏ có: \(C_8^2 = 28\) cách.

Trường hợp 2: Lấy \(1\) quả màu vàng và \(2\) quả màu xanh có: \(C_3^2 = 3\) cách.

Trường hợp 3: Lấy \(1\) quả màu đỏ và \(2\) quả màu xanh có: \(C_8^1.C_3^2 = 24\) cách.

Trường hợp 4: Lấy \(1\) quả màu xanh và \(2\) quả màu đỏ có: \(C_3^1.C_8^2 = 84\) cách.

Số cách để lấy được \(3\) quả cầu có đúng hai màu là: \(28 + 3 + 24 + 84 = 139\) cách.

Cách khác:

Số cách lấy \(3\) quả bất kì: \(C_{12}^3 = 220\).

Số cách lấy \(3\) quả có đủ \(3\) màu: \(C_8^1.C_3^1.C_1^1 = 24\).

Số cách lấy \(3\) quả chỉ có \(1\) màu: \(C_8^3 + C_3^3 = 57\).

Vậy số cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(220 - 24 - 57 = 139\).