Đáp án đúng là "1/3"

Phương pháp giải

Xác định vị trí của điểm \(H\).

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAC)\).

Sử dụng định lý hàm số cos để tính cosin góc giữa hai mặt phẳng.

Lời giải

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng qua \(B\) và vuông góc với \(AB \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABC) = Bt//AC\).

Gọi \((\beta )\) là mặt phẳng qua \(C\) và vuông góc cới \(AC \Rightarrow (\beta ) \cap (ABC) = C{t^\prime }//AB\).

Khi đó, \((\alpha ) \cap (\beta ) = SH\) với \(H = Bt \cap C{t^\prime }\) là đỉnh thứ tư của hình vuông ABHC.

Khi đó: \(\Delta SAB,\,\,\Delta SAC\) là hai tam giác vuông bằng nhau có \(SB = SC = a\sqrt 3 ,SA = 2a\).

Gọi \(I\) là chân đường cao hạ từ đỉnh \(B\) của tam giác SAB, ta có \(BI \bot SA,CI \bot SA\).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAC)\) là \((IB;IC)\).

Xét \(\Delta IBC\) cân tại \(I\) có \(IB = IC = \frac{{a\sqrt 3 .a}}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},BC = a\sqrt 2 \).

Ta có: \(\cos \widehat {BIC} = \frac{{I{B^2} + I{C^2} - B{C^2}}}{{2IB.IC}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} - 2{a^2}}}{{2.\frac{{3{a^2}}}{4}}} = - \frac{1}{3}\).

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAC)\) bằng \(\frac{1}{3}\).

Từ hình vẽ ta thấy trên dây có: