Tứ giác A B C D là hình thoi.

a) Đúng.

Vì tam giác \(ABO\) vuông tại \(O\) nên \(AO \bot BO\) tại \(O\) hay \(AC \bot BD\) tại \(O.\)

Vì \(C\) đối xứng với điểm \(A\) qua \(O\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC.\)

Tứ giác \(ABCD\) có: \(O\) là giao điểm của \(AC,\;BD.\) Mà \(O\) vừa là trung điểm của \(BD\) vừa là trung điểm của \(AC\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Lại có: \(AC \bot BD\) tại \(O\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình thoi.

b) Sai.

Vì chu vi hình thoi \(ABCD\) bằng \[40\;{\rm{cm}}\] nên \(4AB = 40\) suy ra \(AB = 10\;{\rm{cm}}.\) Vậy \(AB = 10\;{\rm{cm}}.\)

c) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(AB = BC.\) Do đó tam giác \(ABC\) cân tại \(B.\)

Do đó, \(\widehat {ACB} = \widehat {CAB}.\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\) là tia phân giác của \(\widehat {DAB}.\) Do đó, \(\widehat {DAB} = 2\widehat {CAB}.\)

Vậy \(\widehat {DAB} = 2\widehat {ACB}.\)

d) Đúng.

Nếu \(\widehat {DAB} = 120^\circ \) thì:

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(\widehat {BAD} = \widehat {DCB} = 120^\circ ,\;\widehat {ADC} = \widehat {ABC}.\)

Lại có: \(\widehat {BAD} + \widehat {DCB} + \widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 360^\circ \)

\(120^\circ + 120^\circ + \widehat {ABC} + \widehat {ABC} = 360^\circ \)

\(2\widehat {ABC} = 120^\circ \)

\(\widehat {ABC} = 60^\circ .\)

Tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) có \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABC\) đều.

Vậy điều kiện để tam giác \(ABC\) đều là\(\widehat {DAB} = 120^\circ .\)