Từ điểm P nằm ngoài nửa đường tròn (O) đường kính BC vẽ hai tiếp tuyến PA, PB (A, B là các tiếp điểm). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi I là giao điểm của PC và AH. Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng.

Vì PB là tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn (O; OA) nên PB ^ BC.

Lại có AH ^ BC. Vậy AH // BD.

b) Sai.

DPCB có IH // PB nên theo hệ quả của định lý Thalès ta có: \(\frac{{{\rm{IH}}}}{{{\rm{BP}}}} = \frac{{{\rm{IC}}}}{{{\rm{PC}}}}.\)

c) Sai.

Vì PA và PB là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) cắt nhau tại A nên PA = PB.

Do đó, DPAB cân tại P.

Suy ra \(\widehat {{\rm{PAB}}} = \widehat {{\rm{PBA}}}\).

DABC có AO là đường trung tuyến và \({\rm{AO}} = \frac{1}{2}{\rm{BC}}\) nên DABC vuông tại A.

Suy ra AB ^ AC. Suy ra \(\widehat {{\rm{BAD}}} = 90^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {{\rm{PAB}}} + \widehat {{\rm{PAD}}} = 90^\circ .\)

Mà \(\widehat {{\rm{PBA}}} + \widehat {\rm{D}} = 90^\circ ,\;\,\widehat {{\rm{PAB}}} = \widehat {{\rm{PBA}}}\)nên \(\widehat {{\rm{PAD}}} = \widehat {\rm{D}}\).

Do đó, DPAD cân tại P.

Vậy BP = PD.

d) Sai.

DPDC có AI // PD nên theo hệ quả của định lý Thalès ta có: \(\frac{{{\rm{IA}}}}{{{\rm{DP}}}} = \frac{{{\rm{IC}}}}{{{\rm{PC}}}}.\)

Theo b) ta có: \(\frac{{{\rm{IH}}}}{{{\rm{BP}}}} = \frac{{{\rm{IC}}}}{{{\rm{PC}}}}\) nên \(\frac{{{\rm{IH}}}}{{{\rm{BP}}}} = \frac{{{\rm{IA}}}}{{{\rm{DP}}}}.\)

Mà PB = DP (= PA) nên IH = IA. Vậy IH = IA.