Từ điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ), kẻ các tiếp tuyến MA và MB với đường tròn ( O ) ( A , B là các tiếp điểm).

a) Ta có \(\widehat {MAO} = {90^ \circ }\) ( \(MA\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)).

Suy ra tam giác \(MAO\) vuông tại \(A\).
Suy ra 3 điểm \(M,A,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(MO\).

Lai có \(\widehat {MBO} = {90^ \circ }(MB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right))\).
Suy ra tam giác \(MBO\) vuông tại \(B\).
Suy ra 3 điểm \(M,B,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(MO\).
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm \(M,A,O,B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(MO\).
b) Ta có \(OA = OB\) (vì \(A,B \in \left( O \right)\) ) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(AB\).

Lại có \(MA = MB\) (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(M\) cūng thuộc đường trung trực của \(AB\).
Do đó \(MO\) là đường trung trực của \(AB\).
Suy ra \(MO \bot AB\) tại \(H\), suy ra \(\widehat {MHA} = 90^\circ \).
Xét \(\Delta MHA\) và \(\Delta MAO\) có

·       \(\widehat {OMA}\) : góc chung.

·       \(\widehat {MHA} = \widehat {MAO} = 90^\circ \)

Suy ra  (g.g).
\( \Rightarrow \frac{{MH}}{{MA}} = \frac{{MA}}{{MO}} \Rightarrow MH \cdot MO = M{A^2}\).
Ta có \(\widehat {AEC} = {90^ \circ }\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra tam giác \(ACE\) vuông tại \(E\).
Suy ra \(\widehat {EAC} + \widehat {ECA} = 90^\circ \).
Mà \(\widehat {EAC} + \widehat {EAM} = \widehat {MAO} = {90^ \circ }(MA\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right))\) nên \(\widehat {EAM} = \widehat {ECA}\) (cùng cộng với \(\widehat {EAC}\) bả̀ng \(90^\circ )\) hay \(\widehat {MAE} = \widehat {MCA}\).
Xét và có

·       \(\widehat {CMA}\) : góc chung.

·       \(\widehat {MAE} = \widehat {MCA}\) (chứng minh trên).

Suy ra  (g.g).
\( \Rightarrow \frac{{ME}}{{MA}} = \frac{{MA}}{{MC}} \Rightarrow ME \cdot MC = M{A^2}\).
Từ (3) và (4) suy ra \(ME \cdot MC = MH \cdot MO\left( { = M{A^2}} \right)\) (đièu phải chứng minh).