Từ điểm $M$ nằm bên ng̀oài đường tròn tâm $O$, vẽ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$

4/5

Từ điểm $M$ nằm bên ng̀oài đường tròn tâm $O$, vẽ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ với đường tròn $(A,B$ là tiếp điểm).

a. Chứng minh tứ giác $MAOB$ nội tiếp đường tròn.

b. Vẽ đường kinh $AC$ của $\left( O \right)$, gọi $D$ là giao điểm của $MC$ và $\left( O \right)$, biết $D$ khác $C$. Chứng minh $M{A^2} = MD.MC$

c. Hai đoạn thẳng $AB$ và $MO$ cắt nhau tại $H$, kẻ đường kính $BE$ của $\left( O \right)$. Chứng minh ba điểm $E,H,D$ thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Từ điểm $M$ nằm bên ng̀oài đường tròn tâm $O$, vẽ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ (ảnh 1)$

a. Chứng minh tứ giác $MAOB$ nội tiếp đường tròn.

Do MA, MB là tiếp tuyến của $\left( {\rm{O}} \right)$ nên $MA \bot OA,MB \bot OB$ (tính chất) $ \Rightarrow \widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^0}$

$ \Rightarrow \widehat {MAO} + \widehat {MBO} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện của tứ giác $MAOB$ nên tứ giác $MAOB$ nội tiếp (dhnb) (đpcm)

b. Vẽ đường kinh $AC$ của $\left( O \right)$, gọi $D$ là giao điểm của $MC$ và $\left( O \right)$, biết $D$ khác $C$. Chứng minh $M{A^2} = MD.MC$

Xét $\Delta MAD$ và $\Delta MCA$ có:

$\widehat {AMC}$ chung

$\widehat {MAD} = \widehat {MCA}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)

(đpcm)

c. Hai đoạn thẳng $AB$ và $MO$ cắt nhau tại $H$, kẻ đường kính $BE$ của $\left( O \right)$. Chứng minh ba điểm $E,H,D$ thẳng hàng.

Do ${\rm{MA}},{\rm{MB}}$ là 2 tiếp tuyến cắt nhau của $\left( {\rm{O}} \right)$ nên ${\rm{MA}} = {\rm{MB}}$ (tính chất)

Mà ${\rm{OA}} = {\rm{OB}}$ (bằng bán kính) nên ${\rm{MO}}$ là trung trực của ${\rm{AB}}$ (tính chất)

$ \Rightarrow MO \bot AB$ tại ${\rm{H}}$ và ${\rm{H}}$ là trung điểm của ${\rm{AB}}$

Khi đó xét tam giác ${\rm{MAO}}$ vuông tại ${\rm{A}}$, đường cao ${\rm{AH}}$ có $M{A^2} = MH.MO$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà $M{A^2} = MC \cdot MD\left( {{\rm{cmt}}} \right)$ nên suy ra $MH \cdot MO = MD \cdot MC \Leftrightarrow \frac{{MH}}{{MC}} = \frac{{MD}}{{MO}}$

Xét $\Delta MHD$ và $\Delta MCO$ có

$\widehat {OMC}$ chung

$\frac{{MH}}{{MC}} = \frac{{MD}}{{MO}}$

(c.g.c $) \Rightarrow \widehat {{H_2}} = \widehat {MCO}$ (2 góc tương ứng)

Do ${\rm{BE}}$ đường kính nên $\widehat {BAE} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$ \Rightarrow AE \bot AB$ mà $AO \bot AB \Rightarrow AE{\rm{//}}AO$

\[ \Rightarrow {\widehat H_1} = \widehat {AED}\] (so le trong)

Mà $\widehat {AED} = \widehat {ACD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $AD$ )

Từ (1) (2) (3) suy ra $\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}$

Mà $\widehat {{H_1}} + \widehat {EHM} = {180^0}$ (2 góc kề bù) $ \Rightarrow \widehat {{H_2}} + \widehat {MHE} = {180^0}$

$ \Rightarrow E,H,D$ thẳng hàng

Từ điểm \(M\) nằm bên ng̀oài đường tròn tâm \(O\), vẽ hai tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\)