Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A và B là các tiếp điểm). Vẽ đường kính BC của đường tròn (O), đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại điểm D

18/19

(2,5 điểm) Từ điểm $M$ nằm bên ngoài đường tròn \[\left( O \right)\] kẻ hai tiếp tuyến \[MA,\,\,MB\] với đường tròn ($A$ và \[B\] là các tiếp điểm). Vẽ đường kính \[BC\] của đường tròn \[\left( O \right)\], đường thẳng \[MC\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[D\] khác \[C\]. Gọi \[H\] là giao điểm của \[AB\] và \[MO.\]

a) Chứng minh \[AC\,{\rm{//}}\,MO\].

b) Chứng minh tứ giác \[MDHB\] nội tiếp và .

c) Đường thẳng qua \[C\] song song với \[DH\] cắt đường thẳng \[AB\] tại \[E\]. Chứng minh \[A\] là trung điểm của \[EH\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Vậy $A$ là trung điểm của $EH$. (ảnh 1)$

a) Ta có $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) suy ra $M$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$

Lại có $OA = OB$ $\left( { = R} \right)$ suy ra $O$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Do đó, $MO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ hay $MO \bot AB$ tại $H$.

Xét đường tròn $(O)$ có $BC$ là đường kính nên $\widehat {BAC} = 90^\circ $ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

Suy ra $AC \bot AB$.

Vì $AC \bot AB$ và $MO \bot AB$ nên $AC\,{\rm{//}}\,MO$.

b) *Chứng minh tứ giác \[MDHB\] nội tiếp

Ta có $MH$ là phân giác của $\widehat {AMB}$ (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Xét $\Delta MAB$ cân tại $M$ (do $MA = MB$) có $MH$ là đường phân giác nên $MH$ đồng thời là đường cao của tam giác. Do đó, $MH \bot AB$ hay $\widehat {MHB} = 90^\circ $.

Ta có: $\widehat {CDB} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $BC$). Do đó, $\widehat {MDB} = 90^\circ .$

Do $\Delta MHB$ vuông tại $H$ $\left( {\widehat {MHB} = 90^\circ } \right)$ nên ba điểm $M,\,\,H,\,\,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MB$.

Do $\Delta MDB$ vuông tại $D$ $\left( {\widehat {MDB} = 90^\circ } \right)$ nên ba điểm $M,\,\,D,\,\,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MB$.

Do đó, bốn điểm $M,\,\,D,\,\,H,\,\,B\,\,$cùng thuộc một đường tròn đường kính $MB$. Vì vậy, tứ giác \[MDHB\] nội tiếp.

* Chứng minh $Δ M D H ∽ Δ M O C$ .

Do $MB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại $B$ nên $\widehat {MBO} = 90^\circ $.

Xét $\Delta MBH$ và $\Delta MOB$ có $\widehat {BMO}$ là góc chung và $\widehat {MHB} = \widehat {MBO} = 90^\circ $.

Suy ra $Δ M B H ∽ Δ M O B$ (g.g) suy ra $\frac{{MB}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MB}}$ hay $M{B^2} = MH \cdot MO$ (1).

Chứng minh tương tự $Δ M B D ∽ Δ M C B$ (g.g) suy ra $\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{MD}}{{MB}}$ hay $M{B^2} = MD \cdot MC$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $MH \cdot MO = MD \cdot MC$ hay $\frac{{MH}}{{MC}} = \frac{{MD}}{{MO}}$.

Xét $\Delta MDH$và $\Delta MOC$ có $\widehat {OMC}$ là góc chung và $\frac{{MH}}{{MC}} = \frac{{MD}}{{MO}}$. Suy ra $Δ M D H ∽ Δ M O C$ (c.g.c).

$Vậy $A$ là trung điểm của $EH$. (ảnh 2)$

Gọi $I$ là giao điểm của $CE$ và $MO$.

Vì $CE\,{\rm{//}}\,DH$, áp dụng định lí Thales cho $\Delta MCI$ ta có $\frac{{MH}}{{MI}} = \frac{{MD}}{{MC}}$.

Kết hợp với $M{B^2} = MD \cdot MC$ và $M{B^2} = MH \cdot MO$ ta có:

$\frac{{MH}}{{MI}} = \frac{{MD \cdot MC}}{{M{C^2}}} = \frac{{M{B^2}}}{{M{C^2}}} = \frac{{MH \cdot MO}}{{M{C^2}}}$ hay $MI = \frac{{M{C^2}}}{{MO}}$.

Áp dụng định lí Pythagore cho $\Delta MBC$ vuông tại $B$ ta có:

$M{C^2} = M{B^2} + B{C^2} = MH \cdot MO + {\left( {2 \cdot OB} \right)^2}$.

Chứng minh tương tự câu b ta được: $O{B^2} = OH \cdot MO$.

Khi đó $M{C^2} = MH \cdot MO + 4 \cdot OH \cdot MO = MO(MH + 4 \cdot OH)$.

Thay vào biểu thức tính $MI$ ta được: $MI = \frac{{MO(MH + 4 \cdot OH)}}{{MO}} = MH + 4 \cdot OH$.

Suy ra $HI = MI - MH = 4 \cdot OH$.

Xét $\Delta ABC$ có $O$ là trung điểm của $BC$ và $OH\,{\rm{//}}\,AC$ do $MO\,{\rm{//}}\,AC$ nên $OH$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$

Do đó $H$ là trung điểm của $AB$ và $OH = \frac{1}{2}AC$ hay $AC = 2 \cdot OH$.

Vì $AC\,{\rm{//}}\,MO$ hay $AC\,{\rm{//}}\,HI$ suy ra $Δ E A C ∽ Δ E H I$ . Do đó, $\frac{{EH}}{{EA}} = \frac{{HI}}{{AC}} = \frac{{4 \cdot OH}}{{2 \cdot OH}} = 2$.

Suy ra $EH = 2 \cdot EA$.

Mà điểm $A$ nằm giữa $E$ và $H$ nên $EH = EA + AH$.

Từ đó ta có $2 \cdot EA = EA + AH$ hay $EA = AH$.

Vậy $A$ là trung điểm của $EH$.