Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn với B là tiếp điểm. Lấy các điểm C, D thuộc đường tròn (O) sao cho C nằm giữa A và D, O không thuộc AD

a) Xét ∆OCD có OC = OD nên ∆OCD cân tại O, suy ra đường trung tuyến OI của tam giác cũng đồng thời là đường cao, hay OIC^=OID^=90°.

Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) với B là tiếp điểm nên OB ⊥ AB.Suy ra OBE^=90°

Xét ∆EOB và ∆EAI có:

OBE^=EIA^ =90° và E^ là góc chung

Do đó ∆EOB ᔕ ∆EAI (g.g)

Suy ra EBEI=EOEA hay EB . EA=EI . EO.

b) Gọi R là bán kính đường tròn (O).

Xét ∆OAB vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:OA² = OB² + AB²

Suy ra AB²=OA² ‒ OB² = OA² ‒ R².

Mặt khác, ta có: AC.AD=(AI‒CI)(AI+DI)

Mà CI=DI (do I là trung điểm của CD)

Suy ra: AC.AD =(AI‒CI)(AI+CI) = AI² ‒CI²

Xét ∆OAI vuông tại I, theo định lí Pythagore, ta có:OA² = OI² + AI²

Suy ra AI²=OA² ‒ OI².

Xét ∆OCI vuông tại I, theo định lí Pythagore, ta có:OC² = OI² + CI²

Suy ra CI²=OC² ‒ OI².

Do đó AC.AD = (OA² ‒ OI²) ‒(OC² ‒OI²)

=OA² ‒ OI² ‒OC²+OI²

= OA² – OC² = OA² ‒ R².

Do đó AB²=AC. AD (vì cùng bằng OA² ‒ R²).