Từ điểm $A$ ở bên ngoài đường tròn

5/5

Từ điểm $A$ ở bên ngoài đường tròn $\left( O \right)$ kẻ hai tiếp tuyến $AM,{\rm{ }}AN$ với $\left( O \right)$ ($M,{\rm{ }}N$ là các tiếp điểm). Gọi $E$ là trung điểm của $AN$, $C$ là giao điểm của $ME$ với $\left( O \right)$ ($C$ khác $M$) và $H$ là giao điểm của $MN$ và $AO$

a) Chứng minh tứ giác $HCEN$ nội tiếp.

b) Gọi $D$ là giao điểm của $AC$ với $\left( O \right)$ ($D$ khác $C$). Chứng minh tam giác $MND$ là tam giác cân.

c) Gọi $I$ là giao điểm của $NO$ với $\left( O \right)$ ($I$ khác $N$) ; $K$ là giao điểm của $MD$ và $AI$. Tính tỉ số $\frac{{KM}}{{KD}}$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Từ điểm $A$ ở bên ngoài đường tròn (ảnh 1)$

a)Ta có $AM,{\rm{ }}AN$ là hai tiếp tuyến cắt nhau nên $OA$ là đường phân giác của $\widehat {MON}$

$\Delta MON$ cân tại $O$, có $OA$đường phân giác nên $OA$đồng thời cũng là đường trung trực ứng với $MN$$ \Rightarrow MH = HN;{\rm{ }}OA \bot MN$

Vì $MH = HN;{\rm{ }}AE = EN$ nên $HE$ là đường trung bình của $\Delta MAN$

$ \Rightarrow HE//MA \Rightarrow \widehat {HEM} = \widehat {AME}$

mà $\widehat {MNC} = \widehat {AME}$ (cùng chắn )

nên $\widehat {MNC} = \widehat {HEM}$

Suy ra tứ giác $HCEN$ nội tiếp.

b)mà $EN = EA$ nên \[\frac{{EA}}{{EM}} = \frac{{EC}}{{EA}}\,\,\]

\[\Delta ECA\,\]và \[\Delta EAM\] có \[\frac{{EA}}{{EM}} = \frac{{EC}}{{EA}}\,\,\]và $\widehat {AEC}$ chung

Do đó $ \Rightarrow \widehat {EAC} = \widehat {EMA}$

Lại có $\widehat {EMA} = \widehat {MDC}$ (cùng chắn ) nên $\widehat {EAC} = \widehat {MDC}$

Suy ra $MD//AN$$ \Rightarrow \widehat {DMN} = \widehat {MNA}$

Mặt khác, $\widehat {MDN} = \widehat {MNA}$(cùng chắn )

$ \Rightarrow \widehat {MDN} = \widehat {DMN}$. Do đó \[\Delta MND\,\]cân tại N

$Từ điểm $A$ ở bên ngoài đường tròn (ảnh 2)$

Gọi $L$là giao điểm của $MD$ và $NI$

Vì $MD//AN$(cmt), $IN \bot AN$ (tính chất tiếp tuyến)

nên $IN \bot MD$ tại $L$$ \Rightarrow DL = ML = \frac{{MD}}{2}$

\[\Delta INA\,\]có $LK//AN$\[ \Rightarrow \frac{{LK}}{{AN}} = \frac{{IL}}{{IN}}\,\,{\rm{ }}\left( 1 \right)\]

Ta có $IM//AO$ (cùng vuông góc với $MN$), suy ra $\widehat {MIL} = \widehat {AON}$

Lại có $\widehat {MLI} = \widehat {ONA} = {90^0}$ nên

Suy ra \[\frac{{IL}}{{NO}} = \frac{{ML}}{{AN}}\,\, \Rightarrow \frac{{IL}}{{2NO}} = \frac{{ML}}{{2AN}} \Rightarrow \frac{{IL}}{{IN}} = \frac{{ML}}{{2AN}}\,{\rm{ }}\,\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[\frac{{LK}}{{AN}} = \frac{{ML}}{{2AN}}\,\, \Rightarrow LK = \frac{{ML}}{2} \Rightarrow MK = KL = \frac{{ML}}{2}\]

Vì \[MK = LK;{\rm{ }}ML = DL \Rightarrow KD = 3KM \Rightarrow \frac{{KM}}{{KD}} = \frac{1}{3}.\]

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2022-2023 sở GD&ĐT Quảng Bình có đáp án

Từ điểm \(A\) ở bên ngoài đường tròn