Từ các số 7;8;9 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: Mỗi chữ số xuất hiện đúng hai lần và hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau?

Đáp án

76

Giải thích

Đặt \(A = \left\{ {7,8,9} \right\}\). Gọi \(S\) là tập các số thỏa yêu cầu thứ nhất của bài toán

Ta có số các số thỏa điều kiện thứ nhất của bài toán là \(\frac{{6!}}{{{2^3}}} = 90\).

Gọi \({S_1},{S_2},{S_3}\) là tập các số thuộc \(S\) mà có \(7,8,9\) cặp chữ số giống nhau đứng cạnh nhau.

• Số phần tử của \({S_3}\) chính bằng số hoán vị của 3 cặp \(77,88,99\) nên \(\left| {{S_3}} \right| = 6\).
• Số phần tử của \({S_2}\) chính bằng số hoán vị của 4 phần tử là có dạng \(a,a,bb,cc\) nhưng \(a,a\) không đứng cạnh nhau. Nên \(\left| {{S_2}} \right| = \frac{{4!}}{2} - 6 = 6\) phần tử.
• Số phần tử của \({S_1}\) chính bằng số hoán vị của các phần tử có dạng \(a,a,b,b,cc\) nhưng \(a,a\) và \(b,b\) không đứng cạnh nhau nên \(\left| {{S_1}} \right| = \frac{{5!}}{4} - 6 - 12 = 12\).

Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán là \(90 - \left( {6 + 6 + 12} \right) = 76\) số.