Từ các công thức khai triển: (a + b)^0 = 1; (a + b)^1 = a + b; (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
3/16
Từ các công thức khai triển:
(a + b)0= 1;
(a + b)1 = a + b;
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4;
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5;
các hệ số được viết thành bảng số như Hình 2 sau đây. Nếu sử dụng kí hiệu tổ hợp thì nhận được bảng như Hình 3.
Từ các đẳng thức như
C30=C33=1,C41=C43=4,C30+C31=C41,C42+C43=C53,
có thể dự đoán rằng, với mỗi n∈ℕ*,
Cnk=Cnn−k (0≤k≤n);
Cnk−1+Cnk=Cn+1k (1≤k≤n).
Hãy chứng minh các công thức trên.
Gợi ý: Sử dụng công thức Cnk=n!k!(n−k)!,n∈ℕ,0≤k≤n.
Hướng dẫn giải
+) Có Cnk=n!k!(n−k)!, Cnn−k=n!(n−k)![n−(n−k)]!=n!(n−k)!k!=n!k!(n−k)!.
Vậy Cnk=Cnn−k.
+) Cnk−1+Cnk=n!(k−1)!(n−k+1)!+n!k!(n−k)!
=(n+1)!n+1k!k(n−k+1)!+(n+1)!n+1k!(n−k+1)!(n−k+1)=kn+1.(n+1)!k!(n−k+1)!+n−k+1n+1.(n+1)!k!(n−k+1)!
=kn+1.(n+1)!k![(n+1)−k]!+n−k+1n+1.(n+1)!k![(n+1)−k]!
=kn+1.Cn+1k+n−k+1n+1.Cn+1k=(kn+1+n−k+1n+1)Cn+1k
=k+(n−k+1)n+1Cn+1k=n+1n+1Cn+1k=Cn+1k.