Trường THCS X đang khảo sát để làm một vườn thực nghiệm hình chữ nhật MNPQ trên khu đất dạng tam giác ABC vuông tại A nằm ở góc khuôn viên nhà trường

Hạ \[AH \bot BC\], gọi \[AH\] cắt \[PQ\] tại \[K\].

Ta có \[PQ{\rm{//}}BC\] nên \[QK{\rm{//}}BH\] và \[PK{\rm{//C}}H\] do đó \[\frac{{QK}}{{BH}} = \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{PK}}{{CH}} = \frac{{QK + PK}}{{BH + CH}} = \frac{{PQ}}{{BC}}\] (1)

Kí hiệu \[MQ = x,PQ = y\] thì \[KH = MQ = x\] (đk: \[x,y > 0\])

\[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] nên \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\] (định lý pytago) nên \[BC = 10\].

Khi đó: \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.AH.BC\] nên \[AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{6.8}}{{10}} = \frac{{24}}{5}\]

Từ (1), ta có: \[\frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{PQ}}{{BC}}\] nên \[1 - \frac{{KH}}{{AH}} = \frac{{PQ}}{{BC}}\]\[ \Rightarrow 1 - \frac{x}{{\frac{{24}}{5}}} = \frac{y}{{10}}\]

Hay \[1 = \frac{{5x}}{{24}} + \frac{y}{{10}} \ge 2\sqrt {\frac{{5x}}{{24}}.\frac{y}{{10}}} \]\[ \Rightarrow \frac{1}{4} \ge \frac{{xy}}{{48}}\] hay \[xy \le 12\]\[ \Rightarrow {S_{MNPQ}} = xy \le 12\]

Do đó, diện tích mảnh vườn thực nghiệm lớn nhất là: \[12\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].

Số tiền để nhà trường làm mảnh vườn có diện tích lớn nhất là: \[12.1,2 = 14,4\] (triệu đồng).