Trước thềm trận siêu kinh điển (El Clasico) giữa Barcelona và Real Madrid, Đài truyền hình Marca thực hiện phỏng vấn ngẫu nhiên một lượng người hâm mộ
a) Đúng.
Theo đề bài ta có: \(P\left( B \right) = 0,6;\,\,P\left( {\overline B } \right) = 0,4;\,\,P\left( {A|B} \right) = 0,9;\,\,P\left( {A|\overline B } \right) = 0,15\)
Tỉ lệ người được phỏng vấn thực sự xem trận đấu là:
\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,6.0,9 + 0,4.0,15 = 0,6\) hay \(60\% \).
b) Đúng.
Tỉ lệ người đã trả lời "không xem" khi phỏng vấn trong số những người thực sự xem trận đấu là: \(P\left( {\overline B |A} \right) = \frac{{P\left( {\overline B A} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4.0,15}}{{0,6}} = 0,1\) hay \(10\% \).
c) Đúng
Gọi C là biến cố "Người được phỏng vấn mặc áo thi đấu".
Theo đề bài ta có: \(P\left( C \right) = 0,2\)\( \Rightarrow P\left( {\overline C } \right) = 0,8\).
Trong số những người mặc áo thi đấu tỉ lệ người thực sự xem trận đấu là 85% nên \(P\left( {A|C} \right) = 0,85\).
Ta có \(P\left( A \right) = P\left( {AC} \right) + P\left( {A\overline C } \right) \Leftrightarrow P\left( A \right) = P\left( C \right).P\left( {A|C} \right) + P\left( {A\overline C } \right)\).
\( \Rightarrow 0,6 = 0,2.0,85 + P\left( {A\overline C } \right) \Rightarrow P\left( {A\overline C } \right) = 0,43\).
Ta có tỉ lệ người thực sự xem trận đấu trong những người không mặc áo thi đấu là:
\(P\left( {A|\overline C } \right) = \frac{{P\left( {A\overline C } \right)}}{{P\left( {\overline C } \right)}} = \frac{{0,43}}{{0,8}} = 0,5375\) hay \(53,75\% \).
d) Đúng.
Ta có trong nhóm mặc áo thi đấu, xác suất xảy ra biến cố E là 10% nên
\(P\left( {E|C} \right) = 0,1 \Rightarrow P\left( {\overline E |C} \right) = 0,9\).
Xác suất người trả lời sai sự thật là:
\[P\left( E \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right) = P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) + P\left( B \right).P\left( {\overline A |B} \right) = 0,4.0,15 + 0,6.0,1 = 0,12\].
Xác suất người trả lời đúng sự thật là: \(P\left( {\overline E } \right) = 1 - 0,12 = 0,88\).
Ta có \(P\left( {\overline E } \right) = P\left( {\overline E C} \right) + P\left( {\overline E \overline C } \right) \Leftrightarrow P\left( {\overline E } \right) = P\left( C \right).P\left( {\overline E |C} \right) + P\left( {\overline E \overline C } \right)\)
\( \Rightarrow 0,88 = 0,2.0,9 + P\left( {\overline E \overline C } \right) \Leftrightarrow P\left( {\overline E \overline C } \right) = 0,7\)
Khi đó, xác suất để một người trả lời đúng sự thật trong nhóm không mặc áo thi đấu là:
\(P\left( {\overline E |\overline C } \right) = \frac{{P\left( {\overline E \overline C } \right)}}{{P\left( {\overline C } \right)}} = \frac{{0,7}}{{0,8}} = 0,875\) hay \(87,5\% \).