Trước thềm cuộc bầu cử đại biểu Hội đồng nhân dân ở tỉnh X, một cuộc trưng cầu dân ý online đã được tổ chức. Kết quả cho thấy có 40% cử tri tham gia trả lời sẽ bầu cho ứng cử viên A.
Gọi: T: Biến cố cử tri trả lời "Sẽ bầu cho ứng cử viên A"; B: Biến cố cử tri "Thực sự bầu cho ứng cử viên A".
Dựa vào dữ kiện bài toán, ta có các xác suất sau:
\[P(T) = 40\% = 0,4 \Rightarrow P(\bar T) = 1 - 0,4 = 0,6\]
\[P(B|T) = 90\% = 0,9\] (Xác suất thực sự bầu nếu đã nói là sẽ bầu).
\[P(B|\bar T) = 20\% = 0,2\] (Xác suất thực sự bầu dù nói là không bầu).
a) Xác suất cử tri bầu ứng cử viên A biết rằng trước bầu cử họ trả lời sẽ bầu ứng cử viên A là \[P(B|T) = 90\% = 0,9\]. Kết luận: ĐÚNG.
b) Xác suất cử tri không bầu ứng cử viên A biết rằng trước bầu cử họ trả lời sẽ không bầu ứng cử viên A là: \[P(\bar B|\bar T) = 1 - P(B|\bar T) = 1 - 0,2 = 0,8\]. Kết luận: SAI.
c) Tỉ lệ cử tri bầu cho ứng cử viên A là
\[P(B) = P(T) \cdot P(B|T) + P(\bar T) \cdot P(B|\bar T) = 0,4 \cdot 0,9 + 0,6 \cdot 0,2 = 0,36 + 0,12 = 0,48 = 48\% \].
Kết luận: ĐÚNG.
d) Biết rằng một cử tri đã bầu cho ứng cử viên A, xác suất để họ đã nói sẽ không bầu ứng cử viên A trước bầu cử là
\[P(\bar T|B) = \frac{{P(\bar T) \cdot P(B|\bar T)}}{{P(B)}} = \frac{{0,6 \cdot 0,2}}{{0,48}} = \frac{{0,12}}{{0,48}} = 0,25\]. Kết luận: SAI.
Lời giải 2
Bước 1: Gọi tên các biến cố và tóm tắt giả thiết
Gọi:
\(M\): "Cử tri trả lời sẽ bầu cho ứng cử viên A trước bầu cử".
\(\bar M\): "Cử tri trả lời sẽ không bầu cho ứng cử viên A trước bầu cử".
\(N\): "Cử tri thực sự bầu cho ứng cử viên A".
\(\bar N\): "Cử tri thực sự không bầu cho ứng cử viên A".
Theo giả thiết bài toán, ta có các xác suất sau:
Tỉ lệ trả lời sẽ bầu là 40%: \(P(M) = 0,4 \Rightarrow P(\bar M) = 1 - 0,4 = 0,6\).
Trong số những người trả lời sẽ bầu, có 90% thực sự bầu: \(P(N|M) = 0,9\).
Trong số những người trả lời không bầu, có 20% thực sự bầu: \(P(N|\bar M) = 0,2\).
Bước 2: Xét tính đúng sai của từng mệnh đề
Mệnh đề a: Đúng.
Mệnh đề phát biểu: "Xác suất cử tri bầu ứng cử viên A biết rằng trước bầu cử họ trả lời sẽ bầu ứng cử viên A là 0,9".
Đây chính là xác suất có điều kiện \(P(N|M)\). Theo giả thiết đề bài đã cho \(P(N|M) = 0,9\).
Mệnh đề b: Sai.
Mệnh đề phát biểu: "Xác suất cử tri không bầu ứng cử viên A biết rằng trước bầu cử họ trả lời sẽ không bầu ứng cử viên A là 0,2".
Đây là xác suất có điều kiện \(P(\bar N|\bar M)\).
Ta có:
\(P(\bar N|\bar M) = 1 - P(N|\bar M) = 1 - 0,2 = 0,8\)
Kết quả tính được là 0,8, khác với 0,2 của mệnh đề.
Mệnh đề c: Đúng.
Mệnh đề yêu cầu tính tỉ lệ cử tri thực sự bầu cho ứng cử viên A, tức là tính \(P(N)\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\(P(N) = P(M) \cdot P(N|M) + P(\bar M) \cdot P(N|\bar M)\)
\(P(N) = 0,4 \cdot 0,9 + 0,6 \cdot 0,2 = 0,36 + 0,12 = 0,48\)
Vậy tỉ lệ cử tri thực sự bầu cho A là 48%.
Mệnh đề d: Sai.
Mệnh đề phát biểu: "Biết rằng một cử tri đã bầu cho ứng cử viên A, xác suất để họ đã nói sẽ không bầu ứng cử viên A trước bầu cử là 0,2".
Đây là yêu cầu tính xác suất có điều kiện \(P(\bar M|N)\). Áp dụng định lí Bayes, ta có:
\(P(\bar M|N) = \frac{{P(\bar M) \cdot P(N|\bar M)}}{{P(N)}}\)
\[P(\bar M|N) = \frac{{0,6 \cdot 0,2}}{{0,48}} = \frac{{0,12}}{{0,48}} = 0,25\]
Kết quả tính được là 0,25, khác với 0,2 của mệnh đề.