Trong Y học, để chẩn đoán bệnh X nào đó, người ta thường dùng một xét nghiệm. Xét nghiệm dương tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người mắc bệnh X

31/38

Trong \(Y\) học, để chẩn đoán bệnh \(X\) nào đó, người ta thường dùng một xét nghiệm. Xét nghiệm dương tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người mắc bệnh \(X\). Xét nghiệm âm tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người không mắc bệnh \(X\). Vỉ không có một xét nghiệm nào tuyệt đối đưng nên trên thực tế có thể xảy ra hai sai lầm sau:

- Xét nghiệm dương tính nhưng thực tế người xét nghiệm không mắc bệnh. Ta gọi đây là dương tính giả.

- Xét nghiệm âm tính nhưng thực tế người xét nghiệm lại mắc bệnh. Ta gọi đây là âm tính giả.

Ông \(M\) đi xét nghiệm bệnh hiểm nghèo \(X\). Biết rằng, nếu một người mắc bệnh \(X\) thì với xác suất 0,95 xét nghiệm cho dương tính; nếu một người không bị bệnh \(X\) thì với xác suất 0,01 xét nghiệm cho dương tính.

Xét nghiệm của ông \(M\) cho kết quả dương tính. Ông \(M\) hoảng hốt khi nghĩ rằng mình có xác suất 0,95 mắc bệnh hiểm nghèo \(X\).

Thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo X là \(0,2\% \).

a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) của ông M là bao nhiêu?

b) Sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) của ông M là bao nhiêu?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Vỉ thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) là \(0,2\% \) nên trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là \({\rm{p}} = \) \(0,2\% = 0,002\).

b) Gọi A là biến cố: "Ông M mắc bệnh hiểm nghèo X "; B là biến cố: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính".

Khi đó xác suất mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) của ông \(M\) sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính chính là xác suất \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})\).

Áp dụng công thức ta có: \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}.\)

Theo câu a) ta có: \(P(A) = p = 0,002\). Suy ra \(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,002 = 0,998\).

\({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})\) là xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính nếu ông M mắc bệnh hiểm nghèo \(X\). Theo bài ra ta có \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,95\).

\({\rm{P}}({\rm{B}}\mid \bar A)\) là xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính nếu ông M không mắc bệnh hiểm nghèo X . Theo bài ra ta có \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid \bar A) = 0,01\).

Khi đó, thay vào công thức Bayes ta được: \(P(A\mid B) = \frac{{0,002 \cdot 0,95}}{{0,002 \cdot 0,95 + 0,998 \cdot 0,01}} \approx 0,16.{\rm{ }}\)

Vậy sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) của ông \(M\) là khoảng 0,16 .