1) Tập xác định: ℝ \ {1}.

2) Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: y=x+2−1x−1.

limx→+∞y=+∞, limx→−∞y=−∞.

limx→1−y=+∞, limx→1+y=−∞. Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

limx→+∞y−x+2=limx→+∞−1x−1=0, limx→−∞y−x+2=limx→−∞−1x−1=0. Do đó, đường thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

y'=x2−2x+2x−12=x−12+1x−12=1+1x−12>0 với mọi x ≠ 1.

Bảng biến thiên:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= x^2+x-3/ x-1 . (ảnh 1)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1) và (1; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 3).

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm −1−132;0, −1+132; 0.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 3), −1−132;0, −1+132; 0 và (2; 3).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= x^2+x-3/ x-1 . (ảnh 2)

Vậy đồ thị hàm số y=x2+x−3x−1 được cho ở hình trên.

Trong Ví dụ 9, góc dốc của con đường trên đoạn [– 1 000; 1 000] lớn nhất tại điểm nào?