Trong truyện cổ tích Cây tre trăm đốt (các đốt được đánh thứ tự từ 1 đến 100), khi không vác được cây tre dài tận 100 đốt như vậy về nhà, anh Khoai ngồi khóc, Bụt liền hiện lên, bày cho anh t

Phương pháp giải:

Tìm các bộ \((x;y)\) thỏa mãn \(2x + 5y = 100\) và đưa về tính tổng tổ hợp.

Giải chi tiết:

Giả sử có \(x\) đoạn 2 đốt và \(y\) đoạn 5 đốt được tách ra từ cây tre 100 đốt đã cho.

Ta có: \(2x + 5y = 100 \Rightarrow x = \frac{{100 - 5y}}{2} = 50 - \frac{{5y}}{2}\).

Vì \(x \in \mathbb{N}\) nên \(y\) phải là số chẵn. Do \(2x + 5y = 100\) và \(x,y \ge 0\) nên \(y \in \{ 0;2;4; \ldots ;20\} \).

Với mỗi bộ số \((x;y)\) tìm được, ta có tổng số đoạn là \(n = x + y\). Số cách để tách cây tre thành \(x\) đoạn 2 đốt và \(y\) đoạn 5 đốt là \(C_{x + y}^y\) (hoặc \(C_{x + y}^x\)).

Do đó, tổng số cách để tách cây tre 100 đốt thành các đoạn 2 đốt và 5 đốt là:

   \[\sum {C_{x + y}^y} = C_{50}^0 + C_{47}^2 + C_{44}^4 + C_{41}^6 + C_{38}^8 + C_{35}^{10} + C_{32}^{12} + C_{29}^{14} + C_{26}^{16} + C_{23}^{18} + C_{20}^{20} = 545.813.094.\]

Để số đoạn 2 đốt nhiều hơn số đoạn 5 đốt đúng 1 thì ta có hệ:

     \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 5y = 100}\\{x - y = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2(y + 1) + 5y = 100}\\{x = y + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7y = 98}\\{x = y + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 14}\\{x = 15}\end{array}} \right.\]

Số cách để tách cây tre thành 15 đoạn 2 đốt và 14 đoạn 5 đốt là:

                \[C_{15 + 14}^{14} = C_{29}^{14} = 77.558.760.\]

Xác suất cần tìm là:

   \[P = \frac{{77.558.760}}{{545.813.094}} \approx 0,1421.\]

Đáp án cần điền là: 0,14