Cho ˆ x O y là góc nhọn. Trên tia O x lấy điểm A ( A ≠ O ). Trên tia O y lấy điểm B sao cho O A = O B . Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với O A , cắt O y tại E . Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với O B , cắt O x tại F . (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta OAE\) và \(\Delta OBF\), có:

\(\widehat {OAE} = \widehat {OBF} = 90^\circ \);

\(OA = OB\) (giả thiết);

\(\widehat {AOB}\) là góc chung.

Do đó \(\Delta OAE = \Delta OBF\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra \(OE = OF\) (cặp cạnh tương ứng).

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho \(\Delta EIF\), ta được: \(EF < EI + IF\).

Mà \(2EM = EF\) (do \(M\) là trung điểm của \(EF\)).

Suy ra \(2EM < EI + IF\).

Vậy \(EM < \frac{{EI + IF}}{2}\).

c) Xét \(\Delta OEF\) có hai đường cao \(FB\) và \(AE\) cắt nhau tại \(I\).

Suy ra \(I\) là trực tâm của \(\Delta OEF\).

Do đó \(OI \bot EF\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta OEM\) và \(\Delta OFM\), có:

\(OM\) là cạnh chung;

\(ME = MF\) (do \(M\) là trung điểm của \(EF\));

\(OE = OF\) (câu a).

Do đó \(\Delta OEM = \Delta OFM\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\).

Suy ra \(\widehat {OME} = \widehat {OMF}\) (cặp góc tương ứng).

Mà \(\widehat {OME} + \widehat {OMF} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Khi đó \(\widehat {OME} = \widehat {OMF} = 90^\circ \) hay \(OM \bot EF\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\), suy ra ba điểm \(O\), \(I\), \(M\) thẳng hàng.

Trọng tâm của một tam giác là