Trong sảnh một trung tâm hội nghị, các kiến trúc sư lắp đặt một khối cầu trang trí phản quang có mặt ngoài được mô phỏng bởi phương trình x^2 + y^2 + z^2 = 9 (đơn vị: mét).
17/22
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Trong sảnh một trung tâm hội nghị, các kiến trúc sư lắp đặt một khối cầu trang trí phản quang có mặt ngoài được mô phỏng bởi phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) (đơn vị: mét). Một đèn chiếu điểm (spotlight) di chuyển dọc theo trục ray thẳng có phương trình \(d:x - 1 = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 3}}\). Khi đèn ở vị trí \(M\), các tia sáng phát ra tiếp xúc với khối cầu. Tập hợp các tiếp điểm tạo thành một đường tròn nằm trên mặt phẳng\((P)\), là ranh giới giữa vùng sáng và vùng tối (tham khảo hình vẽ). Khi đèn \(M\)di chuyển đến vị trí sao cho mặt phẳng \((P)\) đi qua mắt cảm biến cố định tại \(D(2;0;1)\), hãy tính khoảng cách từ đèn \(M\)đến tâm khối cầu (làm tròn đến hàng phần chục của mét).
Đáp án: \(19,6\)
Mặt cầu \((S)\)có tâm \(O(0;0;0)\) và bán kính\(R = 3\).
Gọi \(H\)là hình chiếu của tâm \(O\) lên mặt phẳng \((P)\).
Xét \(\Delta OAM\)vuông tại \(A\) (với \(A\) là một tiếp điểm thuộc đường tròn ranh giới), đường cao \(AH\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(O{A^2} = OH \cdot OM \Rightarrow OH = \frac{{{R^2}}}{{OM}} = \frac{9}{{OM}}\)
Vì \(H \in OM\) nên \(\overrightarrow {OH} ;\overrightarrow {OM} \) cùng hướng. Suy ra \(\overrightarrow {OH} = \frac{9}{{O{M^2}}} \cdot \overrightarrow {OM} \)
Do mặt phẳng \((P)\) vuông góc với \(OM\) tại \(H\), nên \({\vec n_{(P)}} = \overrightarrow {OM} \).
Xét một điểm \(X(x;y;z) \in \left( P \right)\), ta có \[\overrightarrow {HX} \bot \overrightarrow {OM} \Leftrightarrow \overrightarrow {HX} \cdot \overrightarrow {OM} = 0\].
\[ \Leftrightarrow (\overrightarrow {OX} - \overrightarrow {OH} ) \cdot \overrightarrow {OM} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OX} \cdot \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OH} \cdot \overrightarrow {OM} \Leftrightarrow \overrightarrow {OX} \cdot \overrightarrow {OM} = \frac{9}{{O{M^2}}} \cdot {\overrightarrow {OM} ^2} = 9\]
Nếu gọi \[M({x_0};{y_0};{z_0})\], biểu thức tọa độ của tích vô hướng trên chính là: \[{x_0}x + {y_0}y + {z_0}z = 9\]
Gọi \(M(1 + t;1 + 2t;2 - 3t) \in \left( d \right)\)
Mặt phẳng \((P)\) đi qua \[D(2;0;1)\]nên ta có \[2(1 + t) + 0(1 + 2t) + 1(2 - 3t) = 9 \Leftrightarrow 4 - t = 9 \Rightarrow t = - 5\]
Suy ra \[M( - 4; - 9;17) \Rightarrow OM = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {{( - 9)}^2} + {{17}^2}} = \sqrt {386} \approx 19,6{\rm{ m}}\].