Trong quá trình nghiên cứu một chất phóng xạ, người ta thấy rằng lượng chất phóng xạ còn lại

a) Đúng. Khi \(t = 0\): \({N_0} = 120\,\,{\rm{gam}}\) nên \(N\left( t \right) = 120 \cdot {e^{ - kt}}\).

b) Sai. Sau 10 ngày: \(N\left( {10} \right) = 120 \cdot {e^{ - 10k}} \Leftrightarrow 60 = 120 \cdot {e^{ - 10k}}\)

\( \Leftrightarrow {e^{ - 10k}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow - 10k = \ln \frac{1}{2} \Leftrightarrow 10k = \ln 2 \Leftrightarrow k = \frac{1}{{10}}\ln 2\).

c) Đúng. Từ ý a) và b) ta có \(N\left( t \right) = 120 \cdot {e^{\left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t}}\).

Lượng chất phóng xạ còn lại sau 20 ngày là \(N\left( {20} \right) = 120 \cdot {e^{\left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)\, \cdot \,20}} = 30\) (gam).

d) Đúng. Ta có \(N\left( t \right) = 15 \Leftrightarrow 120 \cdot {e^{\left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t}} = 15 \Leftrightarrow {e^{\left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t}} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow \left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t = \ln \frac{1}{8}\)

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t = \ln 8 \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 8}}{{\frac{1}{{10}}\ln 2}} \Leftrightarrow t = 10 \cdot \frac{{\ln 8}}{{\ln 2}} = 30\).

Như vậy, sau \(30\) ngày thì lượng chất phóng xạ còn 15 gam.