Trong một vườn cỏ phẳng có hai vòi phun nước xoay tròn đặt tại hai địa điểm A và B cách nhau 10 m . Vòi tại A có bán kính phun xa 8 m, vòi tại B có bán kính phun xa 6 m.

(1,0 điểm)

Phần vườn cỏ được tưới từ cả hai vòi phun nước là phần tô màu đậm giao giữa hai giữa hai hình tròn \(\left( {A;\,8{\rm{m}}} \right)\) và \(\left( {B;\,6\,{\rm{m}}} \right)\) như hình vẽ.

Vì \(AM = AN = 8\,{\rm{m}}\)và \(BM = BN = 6\,{\rm{m}}\)nên \(AB\) là đường trung trực của \(MN\)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(MN\).

Các tam giác \(\Delta HMA\,\)và \(\Delta HMB\) đều vuông tại \(H\) suy ra:   \(H{M^2} = M{A^2} - A{H^2} = M{B^2} - B{H^2}\)(định lý Pythagore)

            \({8^2} - A{H^2} = {6^2} - {\left( {10 - AH} \right)^2}\)

Từ đó tính được \(AH = 6,4\,{\rm{m}}\).

0,25

Suy ra \(HB = 10 - 6,4 = 3,6\,{\rm{m}}\); \[HM = \sqrt {M{B^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{8^2} - {{6,4}^2}}  = 4,8\,{\rm{m}}{\rm{,}}\]nên \(MN = 9,6\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

0,25

Vì \(\Delta HMA\,\) vuông tại \(H\) nên \(\cos \widehat {HAM} = \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{6,4}}{8} = 0,8.\)

Do đó \[\widehat {HAM} \approx 36,87^\circ \], suy ra \[\widehat {NAM} \approx 73,74^\circ .\]

Vì \(\,\Delta HMB\) vuông tại \(H\) nên\(\,\cos \widehat {HBM} = \frac{{HB}}{{MB}} = \frac{{3,6}}{6} = 0,6.\)

Do đó \(\,\widehat {HBM} \approx 53,13^\circ \), suy ra \(\,\widehat {NBM} \approx 106,26^\circ .\)

0,25

Diện tích phần tô màu đậm bằng diện tích hình quạt \(AMN\) cộng diện tích hình quạt \(BMN\)trừ đi diện tích tứ giác \(AMBN\), do đó  \(S \approx \frac{{\pi {{.8}^2}.\,73,74}}{{360}} + \frac{{\pi {{.6}^2}.106,26}}{{360}} - \frac{1}{2} \cdot 10\, \cdot \,9,6 \approx 27\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\)

0,25