Trong một trò chơi xếp số, người ta chọn ngẫu nhiên 5 số khác nhau từ tập S = {1; 2; 3; …; 30} và đặt mỗi số vào đúng một vị trí trong 5 vị trí A, B, C, D, E như hình vẽ, sao cho bên trong mỗ

22/22

Trong một trò chơi xếp số, người ta chọn ngẫu nhiên $5$ số khác nhau từ tập $S = \{ 1;2;3; \ldots ;30\} $ và đặt mỗi số vào đúng một vị trí trong $5$ vị trí $A,B,C,D,E$ như hình vẽ, sao cho bên trong mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Trò chơi kết thúc khi các điều kiện sau được thỏa mãn:

Những bộ ba vị trí $(A,B,C),(C,D,E)$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Bộ ba vị trí $(A,C,E)$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Xác suất kết thúc trò chơi ở một lần chọn và sắp xếp là $a$. Tính $\frac{1}{{2026a}}$ (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

$Vậy \[CM\] đạt GTNN là \[\sqrt {32} \approx 5,66{\rm{ khi }}x = 0\]. (ảnh 1)$

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 469

Số phần tử của không gian mẫu:

Chọn $5$ số khác nhau từ $30$ số và xếp vào $5$ vị trí có thứ tự $A,B,C,D,E$. Số cách là:

$n(\Omega ) = A_{30}^5 = 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 = 17.100.720$

Phân tích điều kiện thuận lợi:

Gọi các số tại các vị trí là ${x_A},{x_B},{x_C},{x_D},{x_E} \in \{ 1;2; \ldots ;30\} $ và đôi một khác nhau.

$({x_A},{x_B},{x_C})$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng $ \Rightarrow {x_A} + {x_C} = 2{x_B}$. Điều này kéo theo ${x_A},{x_C}$ phải cùng tính chẵn lẻ.

$({x_C},{x_D},{x_E})$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng $ \Rightarrow {x_C} + {x_E} = 2{x_D}$. Điều này kéo theo ${x_C},{x_E}$ phải cùng tính chẵn lẻ.

$ \Rightarrow {x_A},{x_C},{x_E}$ phải cùng tính chẵn lẻ.

$({x_A},{x_C},{x_E})$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân $ \Rightarrow {x_A} \cdot {x_E} = x_C^2$.

Liệt kê các bộ $({x_A},{x_C},{x_E})$ thỏa mãn (Cùng chẵn lẻ, tích ${x_A}{x_E} = x_C^2$, đôi một khác nhau):

o Cùng chẵn:

$(2,4,8);(8,4,2)$

$(4,8,16);(16,8,4)$

$(6,12,24);(24,12,6)$

$(2,6,18);(18,6,2)$

$(8,12,18);(18,12,8)$

o Cùng lẻ:

$(1,3,9);(9,3,1)$

$(1,5,25);(25,5,1)$

$(3,9,27);(27,9,3)$

\[(9,15,25);(25,15,9)\]

Tổng cộng có 18 bộ $({x_A},{x_C},{x_E})$ thỏa mãn. Với mỗi bộ này, ${x_B}$ và ${x_D}$ được xác định duy nhất.

Ví dụ: Bộ $(1,3,9) \Rightarrow {x_B} = 2,{x_D} = 6$. Tập số $\{ 1,2,3,6,9\} $ đôi một khác nhau (Thỏa mãn).

Kiểm tra tất cả 18 bộ, các giá trị ${x_B},{x_D}$ sinh ra đều nguyên, thuộc $S$ và làm cho 5 số đôi một khác nhau.

Số kết quả thuận lợi là: $n(A) = 18$.

Xác suất: $a = \frac{{18}}{{17.100.720}}$.

Tính giá trị biểu thức:

$\frac{1}{{2026a}} = \frac{1}{{2026 \cdot \frac{{18}}{{17.100.720}}}} \approx 468,92$.