Trong một trò chơi, có 3 chiếc rương bề ngoài giống hệt nhau. Rương I chứa 2 đồng tiền vàng. Rương II chứa 2 đồng tiền bạc. Rương III chứa 1 đồng tiền vàng và 1 đồng tiền bạc.

15/22

Trong một trò chơi, có 3 chiếc rương bề ngoài giống hệt nhau. Rương I chứa \(2\) đồng tiền vàng. Rương II chứa \(2\) đồng tiền bạc. Rương III chứa \(1\) đồng tiền vàng và \(1\) đồng tiền bạc. Người chơi chọn ngẫu nhiên một chiếc rương và từ rương đó (không nhìn) rút ngẫu nhiên ra \(1\) đồng tiền.

Xác suất để người chơi rút được đồng tiền vàng ở lần đầu tiên là \(0,5\).

ĐúngSai

Giả sử người chơi rút được đồng tiền vàng. Vì rương II (chứa 2 bạc) đã bị loại trừ, người chơi chỉ có thể đang ở rương I hoặc rương III. Do đó, xác suất để người chơi đang chọn rương I là \(50\% \)

ĐúngSai

Biết rằng đồng tiền đầu tiên rút ra là đồng vàng. Vì tổng số đồng vàng và bạc ban đầu là bằng nhau (3 vàng, 3 bạc), nên sau khi lấy đi 1 đồng vàng, xác suất để đồng tiền còn lại trong rương đó là đồng bạc sẽ cao hơn đồng vàng.

ĐúngSai

Giả sử đồng tiền rút ra lần đầu là đồng vàng và người chơi giữ lại. Nếu người chơi quyết định chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 rương còn lại để rút tiếp 1 đồng tiền, xác suất để rút được đồng tiền vàng ở lần thứ hai là\(\frac{1}{3}\).

ĐúngSai

Giải thích

Gọi \({A_1}\) là biến cố chọn được rương I
Gọi \({A_2}\) là biến cố chọn được rương II
Gọi \({A_3}\) là biến cố chọn được rương III
Gọi \(B\)là biến cố đồng tiền rút ra lần đầu là đồng vàng:
Vì các rương giống hệt nhau nên: \(P\left( {{A_1}} \right) = P\left( {{A_2}} \right) = P\left( {{A_3}} \right)\, = \frac{1}{3}\)
Xét mệnh đề a)
Xác suất rút được đồng vàng khi biết đã chọn từng rương là:
\(P\left( {B|{A_1}} \right) = 1\); \(P\left( {B|{A_2}} \right) = 0\); \(P\left( {B|{A_3}} \right) = \frac{1}{2}\)
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
\(P\left( B \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {B|{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right).P\left( {B|{A_2}} \right) + P\left( {{A_3}} \right).P\left( {B|{A_3}} \right) = \frac{1}{3}.1 + \frac{1}{3}.0 + \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Xác suất chọn đúng rương I khi biết đã rút được đồng vàng:
\[P\left( {{A_1}|B} \right) = \frac{{P\left( {{A_1}} \right).P\left( {B|{A_1}} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.1}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{3} \approx 66,67\% \] nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Biết lần đầu rút được vàng, ta xét hai khả năng còn lại của rương đó:
Xác suất đồng còn lại là vàng chính là xác suất chúng ta đang ở rương I: \(P\left( {{A_1}|B} \right) = \frac{2}{3}\)
Xác suất đồng còn lại là bạc chính là xác suất chúng ta đang ở rương III: \(P\left( {{A_3}|B} \right) = \frac{1}{3}\)
Vì \(\frac{2}{3} > \frac{1}{3}\) nên xác suất đồng còn lại là vàng cao hơn nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Gọi \(C\) là biến cố “Rút được đồng vàng ở lần thứ hai từ một trong hai rương còn lại”
Nếu đang ở rương I (xác suất\(\frac{2}{3}\)): Hai rương còn lại là II (0 vàng) và III (\(\frac{1}{2}\)vàng).
Xác suất rút được vàng là: \(P\left( {C|{A_1} \cap B} \right) = \frac{1}{2}.0 + \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).
Nếu đang ở rương III (xác suất\(\frac{1}{3}\)): Hai rương còn lại là I (1 vàng) và II (0 vàng).
Xác suất rút được vàng là \(P\left( {C|{A_3} \cap B} \right) = \frac{1}{2}.1 + \frac{1}{2}.0 = \frac{1}{2}\)
Xác suất cần tìm là :
\(P\left( {C|B} \right) = P\left( {{A_1}|B} \right).P\left( {C|{A_1} \cap B} \right) + P\left( {{A_3}|B} \right).P\left( {C|{A_3} \cap B} \right) = \frac{2}{3}.\frac{1}{4} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\) nên mệnh đề d) đúng