Trong một trò chơi bạn Bình cần vượt qua một thử thách. Theo yêu cầu của thử thách, Bình cần điền tất cả 15 số thuộc tập hợp 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 10; 11; 12; 15; 16; 20 vào 15 ô vuông t
20/22
Trong một trò chơi bạn Bình cần vượt qua một thử thách. Theo yêu cầu của thử thách, Bình cần điền tất cả 15 số thuộc tập hợp \(\left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;10;11;12;15;16;20} \right\}\) vào 15 ô vuông trong hình dưới thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau: – Mỗi ô điền đúng một số và mỗi số chỉ được sử dụng một lần;
– Hiệu hai số ở hai ô bất kì khác nhau trên cùng một hàng không chia hết cho 5;
– Hiệu hai số ở hai ô bất kì khác nhau trên cùng một cột không chia hết cho 5.
Hai cách điền gọi là giống nhau nếu số điền ở mỗi ô tương ứng trong 15 ô là giống nhau (không tính đến thứ tự điền các số vào 15 ô vuông). Gọi \(H\) là số cách điền khác nhau để bạn Bình vượt qua được thử thách. Giá trị của \(\frac{H}{{30}}\) bằng bao nhiêu?
Ta xét các số theo phần dư khi chia cho 5.
Tập số là: \(\left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;10;11;12;15;16;20} \right\}\).
Chia theo phần dư mod 5:
Phần dư | Các số | Số lượng |
0 | \(0,5,10,15,20\) | 5 |
1 | \(1,6,11,16\) | 4 |
2 | \(2,7,12\) | 3 |
3 | \(3,8\) | 2 |
4 | \(4\) | 1 |
Hai số có hiệu chia hết cho 5 khi và chỉ khi chúng có cùng phần dư khi chia cho 5.
Vì vậy, trên cùng một hàng hoặc cùng một cột không được có hai số cùng phần dư.
Hình có dạng tam giác gồm 5 hàng: Hàng 1 có 5 ô,
Hàng 2 có 4 ô,
Hàng 3 có 3 ô,
Hàng 4 có 2 ô,
Hàng 5 có 1 ô.
Nhóm phần dư 0 có 5 số nên phải nằm ở 5 hàng khác nhau và 5 cột khác nhau. Do hình tam giác nên vị trí của nhóm này bị bắt buộc nằm trên đường chéo: hàng 5 cột 1, hàng 4 cột 2, hàng 3 cột 3, hàng 2 cột 4, hàng 1 cột 5.
Tương tự: Nhóm phần dư 1 có 4 số, vị trí cũng bị bắt buộc.
Nhóm phần dư 2 có 3 số, vị trí cũng bị bắt buộc.
Nhóm phần dư 3 có 2 số, vị trí cũng bị bắt buộc.
Nhóm phần dư 4 có 1 số, vị trí cũng bị bắt buộc.
Vậy cách sắp xếp các phần dư là duy nhất.
Sau đó, trong mỗi nhóm phần dư, các số có thể hoán vị tùy ý.
Số cách điền là: \(H = 5! \cdot 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1!\).
\(H = 120 \cdot 24 \cdot 6 \cdot 2 = 34560\).
Do đó: \(\frac{H}{{30}} = \frac{{34560}}{{30}} = 1152\).
Đáp án: 1152.