Trong một trận đấu bóng rổ kỷ niệm ngày thành lập trường THPT A, bạn Toàn thực hiện một đường chuyền bóng dài cho bạn Thắng, biết rằng quả bóng di chuyển theo một đường parabol (P) như hình
18/20
Trong một trận đấu bóng rổ kỷ niệm ngày thành lập trường THPT A, bạn Toàn thực hiện một đường chuyền bóng dài cho bạn Thắng, biết rằng quả bóng di chuyển theo một đường parabol \(\left( P \right)\) như hình vẽ bên dưới.
Giả sử trục \(Ox\) trùng với mặt đất, quả bóng rời tay Toàn ở vị trí \(A\) và Thắng bắt được quả bóng ở vị trí \(B,\) khi quả bóng di chuyển từ \(A\) đến \(B\) thì đi qua điểm \(C\).
Biết \(OA = BE = 1,8{\rm{\;m}}\); \(CD = 3,6{\rm{\;m}}\); \(OD = 2,5{\rm{\;m}}\); \(OE = 10{\rm{\;m}}\).
Tìm độ cao lớn nhất của quả bóng so với mặt đất khi Toàn chuyền cho Thắng.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(O\) trùng với vị trí trên mặt đất thẳng đứng dưới điểm \(A\).
Theo đề bài, tọa độ các điểm như sau: \(A\left( {0;1,8} \right)\), \(C\left( {2,5;3,6} \right)\), \(B\left( {10;1,8} \right)\).
Giả sử phương trình parabol biểu diễn đường đi của quả bóng là: \(y = a{x^2} + bx + c\quad \left( {a \ne 0} \right)\).
Do điểm \(A\left( {0;1,8} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow c = 1,8\).
Thay tọa độ \(B\left( {10;1,8} \right)\) và \(C\left( {2,5;3,6} \right)\) vào phương trình ta được hệ \[\left\{ \begin{array}{l}100a + 10b + 1,8 = 1,8\\6,25a + 2,5b + 1,8 = 3,6\end{array} \right.\]
Giải hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 0,096\\b = 0,96\end{array} \right.\).
Do đó, phương trình parabol là: \(y = - 0,096{x^2} + 0,96x + 1,8\).
Tọa độ đỉnh \(I\left( {{x_I};{y_I}} \right)\) của parabol:
\({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{0,96}}{{2 \cdot \left( { - 0,096} \right)}} = 5\); \({y_I} = - 0,096 \cdot {5^2} + 0,96 \cdot 5 + 1,8 = - 2,4 + 4,8 + 1,8 = 4,2\).
Hàm số bậc hai có hệ số \(a = - 0,096 < 0\) nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.
Vậy độ cao lớn nhất của quả bóng so với mặt đất khi Toàn chuyền cho Thắng là \(4,2{\rm{\;m}}\).