Trong một tình huống cứu hộ khẩn cấp, một nhân viên cứu hộ phải vượt qua một hồ nước đề tiếp cận người gặp nạn ở phía bên kia. Biết rằng hồ rộng 100 m và vận tốc bơi của nhân viên cứu hộ bằng

Gọi \(A\)là vị trí người gặp nạn, \(B\)là vị trí của nhân viên cứu hộ và \(BD\) là đường bơi của nhân viên cứu hộ.

Chọn một đơn vị có độ dài là 100 m. Suy ra \(BC = 1;AB = 10;AC = 3\sqrt {11} \).

Gọi vận tốc bơi của nhân viên cứu hộ là một đơn vị vận tốc thì vận tốc chạy của nhân viên cứu hộ là 3 đơn vị vận tốc.

Gọi \(x\)là quãng đường nhân viên cứu hộ bơi. Khi đó \(BD = x\).

Quãng đường nhân viên cứu hộ chạy là \(AD = AC - CD = 3\sqrt {11}  - \sqrt {{x^2} - 1} \).

Thời gian nhân viên cứu hộ đến vị trí người gặp nạn là \(t = \frac{{3\sqrt {11}  - \sqrt {{x^2} - 1} }}{3} + \frac{x}{1} = \sqrt {11}  - \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1}  + x\).

Xét hàm \(f\left( x \right) = \sqrt {11}  - \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1}  + x\); có \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\) (vì \(x > 0\)).

Bảng biến thiên

Vậy thời gian nhân viên cứu hộ đến vị trí người gặp nạn ngắn nhất khi \(x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\).

Do đó nhân viên phải bơi \(\frac{{3\sqrt 2 }}{4} \cdot 100 = 75\sqrt 2  \approx 106\;m\).

Đáp án cần nhập là: 106.