Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng \((P),(Q).\)

Ta có: \({\vec n_P} = (1;1;0),{\vec n_Q} = (1;0; - 1) \Rightarrow {\vec n_\alpha } = {\vec n_Q} \times {\vec n_P} = (1; - 1;1) \Rightarrow (\alpha ):x - y + z - 3 = 0.\)

Gọi \(H,K\) lần lượt hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \((P),(Q).\) Theo đề bài, ta có

\(AH = d(A,(P)) = 2;AK = d(A,(Q)) = 1;\cos \left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{|{{\vec n}_P}|.|{{\vec n}_Q}|}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = 60^\circ .\)

Gọi \(a = (\alpha ) \cap (P),b = (\alpha ) \cap (Q),E = a \cap b \Rightarrow E \in (P) \cap (Q).\) Khi đó, trong mặt phẳng \((\alpha )\) ta có tứ giác \(HAKE\) như hình vẽ.

$Mái nhà tranh của ông F được đặt vào trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\] với đơn vị là mét với mặt phẳng \[(R):z + 1 = 0\] là mặt đất (ảnh 2)$

Xét phép quay tâm \(A\) góc quay \( - 60^\circ \) biến điểm \(M \in a\) thành \(M' \in b\).

Đặt \(\widehat {MAH} = \alpha \Rightarrow \widehat {M'AK} = 120^\circ - \widehat {MAH} - \widehat {MAM'} = 60^\circ - \alpha \)

Xét \(\Delta MAH\) vuông tại \(H\), có: \(MA = \frac{{AH}}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{{\cos \alpha }}\).

Xét \(\Delta M'AK\)vuông tại \(K\), có: \(AM' = \frac{{AK}}{{\cos \left( {60^\circ - \alpha } \right)}} = \frac{1}{{\cos \left( {60^\circ - \alpha } \right)}}\).

Mà \(AM = AM' \Leftrightarrow \cos \alpha = 2\cos \left( {60^\circ - \alpha } \right)\)

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \alpha = 2\left( {\cos 60^\circ .\cos \alpha + \sin 60.\sin \alpha } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin \alpha = 0\\ \Rightarrow \alpha = 0\end{array}\]

Vậy \(M \equiv H\). Vậy \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow B \equiv H\) và thực hiện phép quay tâm \(A\), góc quay \( - 60^\circ \) biến điểm \(H\) thành điểm \(C.\)

$Mái nhà tranh của ông F được đặt vào trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\] với đơn vị là mét với mặt phẳng \[(R):z + 1 = 0\] là mặt đất (ảnh 3)$

Suy ra \(C\) thuộc mp\((\beta )\) là mặt phẳng trung trực của \(AH\) hay mặt phẳng cách đều \(A\) và \((P).\)

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \((P).\) Khi đó: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + t\\z = 1\end{array} \right.\)

\(B = d \cap (P) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - 2\sqrt 2 = 0\\x = 1 + t\\y = - 1 + t\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow B(1 + \sqrt 2 ;\sqrt 2 - 1;1).\)

Gọi \(M\) là trung điểm

Tọa độ của \(C\) là nghiệm của hệ phương trình là phương trình của 3 mặt phẳng \((Q),(\alpha ),(\beta ).\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x - z + \sqrt 2 = 0\\x - y + z - 3 = 0\\x + y - \sqrt 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \sqrt 2 - 1\\z = \sqrt 2 + 1\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;\sqrt 2 - 1;\sqrt 2 + 1} \right).\)

Vậy chiều cao mét của khoen móc \[C\] so với mặt đất là

\(h = d(C;(R)) = \frac{{|{z_C} + 1|}}{1} = \left| {\sqrt 2 + 1 + 1} \right| = 2 + \sqrt 2 \approx 3,4{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Trong một tam giác A B C bất kì, có bao nhiêu vectơ khác vectơ không được tạo thành từ các đỉnh của tam giác?