Trong một quảng trường, có hai bức tượng nghệ thuật được đặt cố định tại các vị trí A(1; 2; −1) và B(−2; 1; 0). Một trụ đèn chiếu sáng thông minh được lắp đặt trên một tấm kính lớn cố định, c

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,5

Gọi I là trung điểm của AB do đó \(I\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{3}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Khi đó mặt phẳng (Q) qua điểm \(I\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{3}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 1;1} \right)\) nên có phương trình là:

\( - 3 \cdot \left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1 \cdot \left( {y - \frac{3}{2}} \right) + 1 \cdot \left( {z + \frac{1}{2}} \right) = 0\) hay – 3x – y + z + \(\frac{1}{2}\) = 0.

Vì MA = MB  nên M thuộc mặt phẳng (Q).

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y + z + 4 = 0}\\{ - 3x - y + z + \frac{1}{2} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2y + z =  - x - 4}\\{ - y + z = 3x - \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 4x + \frac{7}{2}}\\{z = 7x + 3}\end{array}} \right.\).

Do đó \(M\left( {x;4x + \frac{7}{2};7x + 3} \right)\).

Có \(MA = \frac{{\sqrt {11} }}{2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {4x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {7x + 4} \right)^2} = \frac{{11}}{4}\).

\( \Leftrightarrow 66{x^2} + 66x + \frac{{66}}{4} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}\).

Nên \(M\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{3}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\).

Vậy a + b + c = \(\frac{1}{2}\).