Trong một phòng khoảng cách hai bức tường là L và chiều cao tường là H có treo một gương phẳng trên một bức tường. Một người đứng cách gương một khoảng bằng d để nhìn gương. Độ cao nhỏ nhất c

+ Dựng B′C′ là ảnh của BC qua gương.

Vì: Để quan sát nhìn thấy cả bức tường sau gương thì mắt phải đồng thời nhìn thấy ảnh B′ và C′.

⇒ Mắt M phải nhận được các tia phản xạ từ gương của các tia tới xuất phát từ B và C.

+ Gọi K, I lần lượt là giao điểm của C′M và B′M với AD

⇒ IK là chiều cao nhỏ nhất của gương.

+ Xét ΔNKM và ΔDKC có:

\[\widehat {MNK} = \widehat {CDK}( = {90^o})\]

\[\widehat {NMK} = \widehat {DCK}\]

⇒ ΔNKM ∽ ΔDKC (g - g)

\[ \Rightarrow \frac{{NK}}{{DK}} = \frac{{NM}}{{DC}}\](cặp cạnh tứ)\[ \Rightarrow \frac{{NK}}{{DK}} = \frac{{NM}}{{DC}} = \frac{d}{L}(1)\]

+ Xét ΔNMI và ΔABI có:

\[\widehat {MNI} = \widehat {BAI} = {90^o}\]

\[\widehat {NMI} = \widehat {ABI}\]

⇒ ΔNMI ∽ ΔABI (g - g)

\[ \Rightarrow \frac{{NI}}{{AI}} = \frac{{NM}}{{AB}}\](cặp cạnh tứ)\[ \Rightarrow \frac{{NI}}{{AI}} = \frac{{NM}}{{AB}} = \frac{d}{L}(2)\]

+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{NK}}{{DK}} = \frac{{NI}}{{AI}} = \frac{{NK + NI}}{{DK + AI}} = \frac{d}{L}\]\[ \Rightarrow \frac{{KI}}{{KD + AI}} = \frac{d}{L}(N \in IK)\]\[ \Rightarrow \frac{{KI}}{{AD}} = \frac{d}{{L + d}}\]\[ \Rightarrow IK = \frac{{d.H}}{{L + d}}\]

KL: Vậy chiều cao nhỏ nhất của gương là: \[\frac{{d.H}}{{L + d}}\]