Trong một nghiên cứu y khoa chuyên sâu về động học dược lý nhằm mục đích tối ưu hóa phác đồ điều trị và đảm bảo an toàn cho bệnh nhân, các nhà khoa học đang theo dõi sát nồng độ của một loại
Phương trình nồng độ thuốc: \(y'\left( t \right) = - k.{e^{ - 0,5t}}.y\left( t \right) \Leftrightarrow \frac{{y'\left( t \right)}}{{y\left( t \right)}} = - k.{e^{ - 0,5t}}\)
Lấy nguyên hàm hai vế theo biến \(t\): \(\,\int {\frac{1}{y}} \,dy = \int { - k.{e^{ - 0,5t}}} dt \Leftrightarrow \ln \left| y \right| = - k.\frac{{{e^{ - 0,5t}}}}{{ - 0,5}} + C = 2k.{e^{ - 0,5t}} + C\)
Suy ra: \(y\left( t \right) = {e^{2k.{e^{ - 0,5t}} + C}} = {e^C} \cdot {e^{2k.{e^{ - 0,5t}}}}\). Khi đó, \(C' = {e^C}\), ta được: \(y\left( t \right) = C'.{e^{2k.{e^{ - 0,5t}}}}\)
Tại thời điểm ban đầu \[\left( {t = 0} \right)\]:
Nồng độ thuốc \(y\left( 0 \right) = 100\)mg/L\( \Rightarrow 100 = C'.{e^{2k.{e^0}}} = C'.{e^{2k}} \Rightarrow C' = \frac{{100}}{{{e^{2k}}}}\)
Thay \(C'\)ngược lại vào hàm số: \(y\left( t \right) = \frac{{100}}{{{e^{2k}}}}.{e^{2k.{e^{ - 0,5t}}}} = 100.{e^{2k\left( {{e^{ - 0,5t}} - 1} \right)}}\)
Tại thời điểm \(t = 2\)giờ: Nồng độ thuốc \(y\left( 2 \right) = 100.{e^{\frac{2}{e} - 2}}\).
Thay \(t = 2\)vào biểu thức vừa tìm được:
\(100.{e^{2k\left( {{e^{ - 0,5 \cdot 2}} - 1} \right)}} = 100.{e^{\frac{2}{e} - 2}} \Rightarrow 2k\left( {\frac{1}{e} - 1} \right) = \frac{2}{e} - 2 = 2\left( {\frac{1}{e} - 1} \right) \Rightarrow k = 1\)
Với \(k = 1\), hàm nồng độ thuốc là: \(y\left( t \right) = 100.{e^{2\left( {{e^{ - 0,5t}} - 1} \right)}}\)
Sau bốn giờ \[\left( {t = 4} \right)\], nồng độ thuốc trong máu là: mg/L