Trong một mô hình nông nghiệp công nghệ cao, một tấm pin năng lượng mặt trời phẳng được lắp đặt nghiêng sao cho bề mặt của nó nằm trên mặt phẳng (P): 2x + 2y + z − 6 = 0.
15/22
Trong một mô hình nông nghiệp công nghệ cao, một tấm pin năng lượng mặt trời phẳng được lắp đặt nghiêng sao cho bề mặt của nó nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z - 6 = 0\). Người ta lắp đặt một robot cố định ở trên cao để kiểm tra bụi bẩn. Robot có mắt phát tia laser tại điểm \[S\left( {1;1;6} \right)\]. Robot thực hiện quét tia laser trên bề mặt tấm pin. Tại một thời điểm, tia laser được chiếu theo đường thẳng Delta có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {1; - 2; - 2} \right)\) và chạm vào bề mặt tấm pin tại điểm \(M\).
Khoảng cách từ mắt phát tia laser \(S\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(\frac{4}{3}\) mét.
Điểm \(M\) có tọa độ là \(\left( {1;1;2} \right)\).
Góc \(\alpha \) hợp bởi tia laser \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thỏa mãn hệ thức \(\sin \alpha = \frac{4}{9}\).
Khi vệ sinh, nước được phun trúng điểm chạm của tia laser trên tấm pin sẽ tạo thành dòng nước chảy trên bề mặt pin xuống đất theo hướng dốc nhất, quỹ đạo chảy của dòng nước nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng đó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow v \left( {1;1;3} \right)\).
a) Khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( P \right)\) bằng \(\frac{{\left| {2.1 + 2.1 + 6 - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{3}\). Vậy a) Đúng.
b) Phương trình tia laser là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 6 - 2t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}.\). Giao điểm của tia laser và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thỏa mãn \(\left( P \right):2\left( {1 + t} \right) + 2\left( {1 - 2t} \right) + \left( {6 - 2t} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\), ứng với \(M\left( {2; - 1;4} \right)\). Vậy b) Sai.
c) Vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n \left( {2;2;1} \right)\), vectơ chỉ phương của Delta là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2; - 2} \right)\), nên góc giữa Delta và \(\left( P \right)\) thỏa mãn \[\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {n.} \overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 2.\left( { - 2} \right) + 1.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{4}{9}\].
Vậy c) Đúng.
d) Gọi \(d\) là đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\) và song song với mặt đất, khi đó dòng nước chảy có phương vuông góc với \(d\). Gọi \(\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\) là vectơ chỉ phương của trục \(Oz\), khi đó theo tính chất của tích vô hướng, ta có \[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow n } \right]\] và \(\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow n } \right]\).
\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\\\overrightarrow n \left( {2;2;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 2;2;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1;1;0} \right)\] suy ra \(\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {1;1; - 4} \right)\). Vậy d) Sai.
Cách khác: ý d sai vì \(\overrightarrow v \left( {1;1;3} \right)\) và \(\overrightarrow n \left( {2;2;1} \right)\)không vuông góc.