Trong một ký túc xá sinh viên công nghệ có tổng cộng 1000 sinh viên. Một nhóm sinh viên khởi nghiệp tung ra một ứng dụng mới dành riêng cho khu ký túc xá này.

Gọi \(P\left( t \right)\) là số người cài đặt sau \(t\) ngày và theo đề bài, tổng số sinh viên \(S = 1000\)sinh viên.
Từ yêu cầu bài toán ta có : \[\frac{{dP}}{{dt}} = kP\left( {S - P} \right)\,\left( * \right)\]
Từ \(\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{{dP}}{{P\left( {S - P} \right)}} = k{\rm{d}}t\,\), ta lấy tích phân cả hai vế :
\( \Leftrightarrow \int {\frac{{dP}}{{P\left( {S - P} \right)}}} = \int {k{\rm{d}}t\,} \Leftrightarrow \frac{1}{S}\int {\left( {\frac{1}{P} + \frac{1}{{S - P}}} \right)} {\rm{d}}P = kt + C \Leftrightarrow \ln \left| {\frac{P}{{S - P}}} \right| = Skt + {C_1}\)
Đặt \(C = {e^{{C_1}}}\)và \(r = Sk\), ta có công thức nghiệm tổng quát : \(\frac{{P\left( t \right)}}{{S - P\left( t \right)}} = {e^{rt}}.C\)
Tại \(t = 0\,\)thì ta có \(P\left( 0 \right) = 100\, \Leftrightarrow \frac{{100}}{{1000 - 100}} = C.{e^0} \Rightarrow C = \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{{P\left( t \right)}}{{1000 - P\left( t \right)}} = \frac{1}{9}{e^{rt}}\)
Tại \(t = 5\)thì ta có \[P\left( 5 \right) \Leftrightarrow \frac{{500}}{{1000 - 500}} = \frac{1}{9}.{e^{5r}} \Rightarrow 5r = \ln \left( 9 \right)\,\,\left( 1 \right)\]
Tìm thời gian để \(P\left( t \right) = 900 \Leftrightarrow \frac{{900}}{{1000 - 900}} = \frac{1}{9}.{e^{rt}} \Rightarrow rt = \ln \left( {81} \right)\,\,\left( 2 \right)\)
Lấy \(\,\frac{{\left( 2 \right)}}{{\left( 1 \right)}}\, \Leftrightarrow \frac{{rt}}{{5r}} = \frac{{\ln \left( {81} \right)}}{{\ln \left( 9 \right)}} \Rightarrow \frac{t}{5} = 2 \Rightarrow t = 10\) ngày.