Trong một kho hàng, người ta cần xếp 240 kiện hàng hình lập phương có cạnh 1 m thành một khối hình chữ nhật trên mặt sàn. Để thuận tiện cho việc dán băng keo bảo vệ xung quanh khối hàng, nhân
Tổng số kiện hàng \[240\] kiện hàng hình lập phương cạnh \[1{\rm{ }}m\]. Do đó, thể tích của khối hình chữ nhật là \(V = {240.1^3} = 240\;\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của khối hình chữ nhật lần lượt là \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] (với \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\]là các số nguyên dương tính theo đơn vị mét, vì các kiện hàng có cạnh \[1{\rm{ }}m\] và phải xếp khít nhau)
Thể tích khối hàng là \(V = a.b.c = 240\;\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Chu vi mặt đáy cần tối thiểu hóa là \(P = 2 \cdot \left( {a + b} \right)\)
Để chu vi đáy \(P = 2(a + b)\) nhỏ nhất thì tổng \((a + b)\) phải nhỏ nhất. Theo bất đẳng thức tích và tổng, với một tích \(a \cdot b\) cố định, tổng \((a + b)\) nhỏ nhất khi \(a\) và \(b\) gần nhau nhất (lý tưởng nhất là \(a \approx b \approx \sqrt {a \cdot b} \) ).
Ta biết \(a \cdot b = \frac{{240}}{c}\). Vì \(c\) là số nguyên dương (chiều cao tính bằng số lớp kiện hàng), ta sẽ xét các giá trị của \(c\) là ước của \[240\] sao cho diện tích đáy \(S = a \cdot b = \frac{{240}}{c}\) cho phép chọn được \[b\] gần nhau nhất.
Xét bảng:
Chiều cao (\[c\]) | Diện tích đáy \(S = a \cdot b\) | Cặp số \[\left( {a,{\rm{ }}b} \right)\] gần nhau nhất | Tổng \(\left( {a + b} \right)\) | Chu vi đáy \(P = 2 \cdot \left( {a + b} \right)\) |
\(c = 1\) | \(240\) | \(\left( {15,16} \right)\) | \(15 + 16 = 31\) | \(2 \cdot 31 = 62\;{\rm{m}}\) |
\(c = 2\) | \(120\) | \(\left( {10,12} \right)\) | \(10 + 12 = 22\) | \(2 \cdot 22 = 44\;{\rm{m}}\) |
\(c = 3\) | \(80\) | \(\left( {8,10} \right)\) | \(8 + 10 = 18\) | \(2 \cdot 18 = 36\;{\rm{m}}\) |
\(c = 4\) | \(60\) | \(\left( {6,10} \right)\) hoặc \(\left( {5,12} \right)\) | \(6 + 10 = 16\) Hoặc \(5 + 12 = 17\) | \(2 \cdot 16 = 32\;{\rm{m}}\) Hoặc \(2 \cdot 17 = 34\;{\rm{m}}\) |
\(c = 5\) | \(48\) | \(\left( {6,8} \right)\) | \(6 + 8 = 14\) | \(2 \cdot 14 = 28\;{\rm{m}}\) |
\(c = 6\) | \(40\) | \(\left( {5,8} \right)\) | \(5 + 8 = 13\) | \(2 \cdot 13 = 26\;{\rm{m}}\) |
\(c = 8\) | \(30\) | \(\left( {5,6} \right)\) | \(5 + 6 = 11\) | \(2 \cdot 11 = 22\;{\rm{m}}\) |
\(c = 10\) | \(24\) | \(\left( {4,6} \right)\) | \(4 + 6 = 10\) | \(2 \cdot 20 = 40\;{\rm{m}}\) |
\(c = 12\) | \(20\) | \(\left( {4,5} \right)\) | \(4 + 5 = 9\) | \(2 \cdot 9 = 18\;{\rm{m}}\) |
\(c = 15\) | \(16\) | \(\left( {4,4} \right)\) | \(4 + 4 = 8\) | \(2 \cdot 8 = 16\;{\rm{m}}\) |
\(c = 20\) | \(12\) | \(\left( {2,4} \right)\) | \(2 + 4 = 6\) | \(2 \cdot 6 = 12\;{\rm{m}}\) |
\(c = 30\) | \(8\) | \(\left( {2,4} \right)\) | \(2 + 4 = 6\) | \(2 \cdot 6 = 12\;{\rm{m}}\) |
\(c = 40\) | \(6\) | \(\left( {2,3} \right)\) | \(2 + 3 = 5\) | \(2 \cdot 5 = 10\;{\rm{m}}\) |
\(c = 60\) | \(4\) | \(\left( {2,2} \right)\) | \(2 + 2 = 4\) | \(2 \cdot 4 = 8\;{\rm{m}}\) |
\(c = 80\) | \(3\) | \(\left( {1,3} \right)\) | \(1 + 3 = 4\) | \(2 \cdot 4 = 8\;{\rm{m}}\) |
\(c = 120\) | \(2\) | \(\left( {1,2} \right)\) | \(1 + 2 = 3\) | \(2 \cdot 3 = 6\;{\rm{m}}\) |
\(c = 240\) | \(1\) | \(\left( {1,1} \right)\) | \(1 + 1 = 2\) | \(2 \cdot 2 = 4{\rm{m}}\) |
Chu vi mặt đáy nhỏ nhất có thể đạt được là \(4\,{\rm{m}}\).