Trong một hộp kín đựng 102 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 102.

Đáp án: 2550.

Giả sử ba tấm thẻ lấy ra có số ghi là \(a,b,c\) theo thứ tự tăng dần (\(a < b < c\)).

Để ba số này lập thành một cấp số cộng, ta phải có tính chất: \(a + c = 2b\)

Điều này có nghĩa là tổng của số đầu \(a\) và số cuối \(c\) phải là một số chẵn (vì \(2b\) luôn chẵn).

Để tổng \((a + c)\) là số chẵn, thì \(a\) và \(c\) phải cùng tính chẵn lẻ (tức là cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ).

Nhận xét quan trọng: Khi bạn chọn được 2 số đầu và cuối (\(a\) và \(c\)) có cùng tính chẵn lẻ, thì số ở giữa (\(b = \frac{{a + c}}{2}\)) sẽ là duy nhất và chắc chắn là số nguyên nằm giữa \(a\) và \(c\).

\( \Rightarrow \) Bài toán quy về việc: Chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ tập hợp sao cho 2 tấm đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Tập hợp \(S = \{ 1,2,3,...,102\} \) có 102 phần tử.

Số lượng số lẻ là: \(\{ 1,3,5,...,101\} \). Số lượng = \(\frac{{101 - 1}}{2} + 1 = 51\) số.

Số lượng số chẵn là: \(\{ 2,4,6,...,102\} \). Số lượng = \(\frac{{102 - 2}}{2} + 1 = 51\) số.

Để có 3 số lập thành cấp số cộng, ta cần chọn 2 số đầu cuối \(a,c\) từ cùng một nhóm (chẵn hoặc lẻ):

+ Trường hợp 1: Chọn 2 số đều là số lẻ.

Số cách chọn 2 số từ 51 số lẻ là tổ hợp chập 2 của 51: \(C_{51}^2 = \frac{{51.50}}{2} = 1275{\rm{ (c\'a ch)}}\).

(Ví dụ: Chọn 1 và 5 thì số ở giữa chắc chắn là 3. Bộ là 1, 3, 5)

+ Trường hợp 2: Chọn 2 số đều là số chẵn.

Số cách chọn 2 số từ 51 số chẵn là tổ hợp chập 2 của 51: \(C_{51}^2 = \frac{{51.50}}{2} = 1275{\rm{ (c\'a ch)}}\).

(Ví dụ: Chọn 2 và 10 thì số ở giữa chắc chắn là 6. Bộ là 2, 6, 10)

Bước 3: Tổng hợp kết quả.

Tổng số cách lấy được ba tấm thẻ lập thành cấp số cộng là:

1275 + 1275 = 2550 cách