Trong một góc nhà xưởng, nền và hai vách vuông góc đôi một; đỉnh cọc tiếp địa là A
20/22
Trong một góc nhà xưởng, nền và hai vách vuông góc đôi một; đỉnh cọc tiếp địa là \(A\) có khoảng cách vuông góc đến nền, vách 1, vách 2 lần lượt là \(45{\rm{ cm}},75{\rm{ cm}},75{\rm{ cm}}\). Người thợ lắp một tấm ván khuôn (coi như một mặt phẳng) đi qua \(A\), các mép tấm ván áp sát và bịt kín với nền và hai vách để tạo một khối bê tông dạng tứ diện (có ba mặt trùng với nền và hai vách). Tính thể tích nhỏ nhất của khối bê tông (đơn vị \({m^3}\)) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp số: \(1,14\).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\)sao cho gốc \(O\) trùng với góc nhà xưởng, các trục \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt nằm trên các giao tuyến của nền và hai vách tường.
Khi đó:
Mặt phẳng nền là mặt phẳng \((Oxy):z = 0\).
Vách 1 là mặt phẳng \((Oyz):x = 0\).
Vách 2 là mặt phẳng \((Oxz):y = 0\).
Tọa độ điểm \(A\) là \(A(0,75;0,75;0,45)\) (đổi đơn vị sang mét).
Gọi \(M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)\) lần lượt là giao điểm của tấm ván khuôn với các trục \[Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz\]\[\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c > 0} \right)\].
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua tấm ván khuôn có dạng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)
Vì mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A(0,75;0,75;0,45)\) nên ta có: \(\frac{{0,75}}{a} + \frac{{0,75}}{b} + \frac{{0,45}}{c} = 1\)
Thể tích khối bê tông dạng tứ diện \(OMNP\)là \(V = \frac{1}{6}abc\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dươn g\(\frac{{0,75}}{a};\frac{{0,75}}{b};\frac{{0,45}}{c}\)
Ta có \(1 = \frac{{0,75}}{a} + \frac{{0,75}}{b} + \frac{{0,45}}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{0,75 \cdot 0,75 \cdot 0,45}}{{abc}}}}\)
\( \Rightarrow 1 \ge 27 \cdot \frac{{0,253125}}{{abc}}\)\( \Rightarrow abc \ge 27 \cdot 0,253125 = 6,834375\)
Suy ra thể tích khối tứ diện: \(V = \frac{1}{6}abc \ge \frac{1}{6} \cdot 6,834375 = 1,1390625\)
Giá trị nhỏ nhất của thể tích là \({V_{min}} = 1,1390625{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\).
Làm tròn đến hàng phần trăm ta được \(1,14{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\).