Trong một dự án khảo sát địa chất thăm dò tài nguyên, các nhà khoa học phát hiện một túi khí tự nhiên trong lòng đất được xác định có dạng hình cầu (S), một lớp đá mỏng ngăn cách địa tầng (P)
15/22
Trong một dự án khảo sát địa chất thăm dò tài nguyên, các nhà khoa học phát hiện một túi khí tự nhiên trong lòng đất được xác định có dạng hình cầu \(\left( S \right)\), một lớp đá mỏng ngăn cách địa tầng \(\left( P \right)\). Với hệ trục \(Oxyz\) phù hợp, đơn vị trên mỗi trục là chục mét. Mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 16\). Lớp đá mỏng là mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(x + y + z - 15 = 0\). Để thực hiện việc khai thác, các nhà khoa học đặt mũi khoan được định hướng bắt đầu từ vị trí \(A\left( {1;2;1} \right)\) và tiến tới liên tục theo phương của vec tơ \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 8} \right)\). Ngoài ra, một trạm quan trắc địa chấn được đặt cố định tại vị trí \(K\left( {2;3;5} \right)\) để theo dõi các biến động cơ học trong quá trình khoan. 
Túi khí \(\left( S \right)\) bị lớp đá mỏng \(\left( P \right)\) chia thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Quỹ đạo của mũi khoan được mô tả bởi một phần đường thẳng \(d\) có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 8}}\).
Trên quỹ đạo chuyển động của mình, mũi khoan sẽ đi xuyên qua túi khí \(\left( S \right)\) tạo thành một đoạn đường ống trong lòng túi khí có độ dài là \(80\,{\rm{m}}\).
Khi mũi khoan bắt đầu chạm vào túi khí \(\left( S \right)\) thì tín hiệu địa chấn nhận được là mạnh nhất. Khi đó khoảng cách từ trạm quan trắc đến điểm nhận được tín hiệu mạnh nhất bằng \(79\,{\rm{m}}\)(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
a) Ta có mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;3; - 7} \right)\), bán kính \(R = 4\)
Ta thấy \(I \notin \left( P \right)\) nên lớp đá mỏng \(\left( P \right)\) chia túi khí \(\left( S \right)\) thành hai phần không bằng nhau.
Chọn Sai.
b) Quỹ đạo của mũi khoan được mô tả bởi một phần đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 8} \right)\) nên có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 8}}\)
Chọn Đúng.
c) Ta có phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 1 - 8t\end{array} \right.\)
Ta tìm giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt cầu \(\left( S \right)\):
Xét phương trình theo tham số \(t\):
\({\left( {1 + t - 2} \right)^2} + {\left( {2 + t - 3} \right)^2} + {\left( {1 - 8t + 7} \right)^2} = 16\)
\( \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} + {\left( {t - 1} \right)^2} + {\left( {8 - 8t} \right)^2} = 16\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} \\t = 1 - \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} \end{array} \right.\)
Là hai điểm \(A\left( {2 + \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} ;3 + \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} ; - 7 - 8\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)\), \(B\left( {2 - \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} ;3 - \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} ; - 7 + 8\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)\)
Khoảng cách \(A{B^2} = {\left( {\left( { - 2} \right)\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( { - 2\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( {16\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2}\)\( = 64\) suy ra \(AB = 8\) nên độ dài đoạn đường ống bằng \(8.10 = 80\,{\rm{m}}\)
Chọn Đúng.
d) Ta tính khoảng cách từ điểm \(K\left( {2;3;5} \right)\) đến hai giao điểm của mũi khoan và túi khí \(\left( S \right)\).
Ta có \(K{A^2} = {\left( {\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( { - 12 - 8\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2}\) suy ra \(KA \approx 16\).
Ta có \(K{B^2} = {\left( { - \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( { - \sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2} + {\left( { - 12 + 8\sqrt {\frac{{16}}{{66}}} } \right)^2}\) suy ra \(KB \approx 8\) nên điểm mũi khoan chạm vào túi khí có tín hiệu địa chấn mạnh nhất là điểm \(B\) và khoảng cách từ trạm quan trắc địa chấn đến \(B\) là \(KB\)\( = 80\,{\rm{m}}\).
Chọn Sai.