Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh X mà tỉ lệ người mắc bệnh là 0,2% và một loại xét nghiệm Y mà ai mắc bệnh X khi xét nghiệm Y cũng có phản ứng dương tính.

Đáp án đúng là: 0,03

Phương pháp giải:

Gọi các biến cố tương ứng. Sử dụng công thức xác suất Bayes:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B|\bar A} \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi A là biến cố: "Người được chọn mắc bệnh X". Khi đó \(P\left( A \right) = 0,002\) và \(P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0,002 = 0,998\).

Gọi B là biến cố: "Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y".

Theo giả thiết, ai mắc bệnh X xét nghiệm cũng dương tính nên \(P\left( {B|A} \right) = 1\).

Xác suất người không bị bệnh X nhưng xét nghiệm dương tính là \(P\left( {B|\bar A} \right) = 0,06\).

Theo công thức Bayes, xác suất người đó mắc bệnh X biết rằng xét nghiệm dương tính là:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B|\bar A} \right)}} = \frac{{0,002 \cdot 1}}{{0,002 \cdot 1 + 0,998 \cdot 0,06}} \approx 0,032\).

Làm tròn đến hàng phần trăm ta được 0,03.