Trong một đợt kiểm tra sức khỏe, có một loại bệnh X mà tỉ lệ người mắc bệnh là 0,2% và một loại xét nghiệm Y mà ai mắc bệnh X khi xét nghiệm Y cũng có phản ứng dương tính.

101/235

Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh \(X\) mà tỉ lệ người mắc bệnh là \(0,2\% \) và một loại xét nghiệm \(Y\) mà ai mắc bệnh \(X\) khi xét nghiệm \(Y\) cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có \(6\% \) những người không bị bệnh \(X\) lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm \(Y\). Chọn ngẫu nhiên \(1\) người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó xét nghiệm hai lần độc lập đều có phản ứng dương tính với xét nghiệm \(Y.\) Xác suất người đó bị mắc bệnh \(X\) gần nhất với giá trị nào sau đây?

\(34\% .\)

\(35\% .\)

\(36\% .\)

\(37\% .\)

Giải thích

Giải chi tiết:

Xét các biến cố:

\(A:\) "Người được chọn mắc bệnh \(X\)";

\(B:\) "Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm \(Y\)".

Theo giả thiết ta có: \(P(A) = 0,002;P(\bar A) = 1 - 0,002 = 0,998\);

\(P(B\mid A) = 1;\,\,P(B\mid \bar A) = 0,06\)

Theo công thức Bayes, ta có xác suất để người đó bị mắc bệnh \(X\) với lần xét nghiệm dương tính thứ nhất là:

\(P(A\mid B) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}\)

\( = \frac{{0,002 \cdot 1}}{{0,002 \cdot 1 + 0,998 \cdot 0,06}} = \frac{{50}}{{1547}}\)

Vì người đó xét nghiệm \(2\) lần đều ra kết quả dương tính nên ở lần thứ hai, ta xét \(P(A) = \frac{{50}}{{1547}}\)

Do đó, xác suất người đó bị mắc bệnh \(X\) khi có kết quả xét nghiệm dương tính lần thứ hai là:

\(P(A\mid B) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}\)

\( = \frac{{\frac{{50}}{{1547}} \cdot 1}}{{\frac{{50}}{{1547}} \cdot 1 + \left( {1 - \frac{{50}}{{1547}}} \right) \cdot 0,06}} = \frac{{2500}}{{6991}} \approx 36\% \)

Đáp án cần chọn là: C