Trong một đợt diễn tập quốc phòng, hai người ở hai vị trí khác nhau cùng ngắm bắn một mục tiêu cố định trên không
21/22
Trong một đợt diễn tập quốc phòng, hai người ở hai vị trí khác nhau cùng ngắm bắn một mục tiêu cố định trên không. Người ta gắn một hệ trục tọa độ \[Oxyz\](đơn vị trên mỗi trục tính theo mét), mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] trùng mặt đất. Người thứ nhất bắn một viên đạn đi qua hai điểm \[A\left( {5\,;7\,;10} \right)\] và \[B\left( {6\,;9\,;12} \right)\]. Người thứ hai bắn một viên đạn đi qua hai điểm \[C\left( {15\,;17\,;5} \right)\] và \[D\](điểm \[D\]ở độ cao \[26\,{\rm{m}}\] so với mặt đất). Biết rằng sau một thời gian rời khỏi nòng súng, hai viên đạn va chạm nhau tại một vị trí cách \[A\]một khoảng bằng \[150\,{\rm{m}}\] (tham khảo hình vẽ).
Hỏi \[D\] cách \[C\] một khoảng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Gọi \[M = AB \cap CD\] (là điểm hai viên đạn va chạm nhau) khi đó \[AM = 150\,{\rm{m}}\;(1)\].
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;2\,;2} \right)\]là vectơ chỉ phương của đường thẳng \[AB\].
Phương trình tham số đường thẳng \[AB\] là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5 + t}\\{y = 7 + 2t}\\{z = 10 + 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\].
Do \[M \in AB \Rightarrow M\left( {5 + t;7 + 2t;10 + 2t} \right)\]. Từ (1) ta có \[\sqrt {{t^2} + 4{t^2} + 4{t^2}} = 150 \Leftrightarrow \left| t \right| = 50\].
Với \[t = 50 \Rightarrow M\left( {55;107;110} \right)\] và với \[t = - 50 \Rightarrow M\left( { - 45; - 93; - 90} \right)\].
Vì cao độ điểm \[D\]dương nên cao độ của điểm \[M\]dương\[ \Rightarrow M\left( {55\,;107\,;110} \right)\].
Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng \[CD\] là \[\overrightarrow {CM} = \left( {40;90;105} \right)\].
Khi đó, phương trình tham số đường thẳng \[CD\] là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 15 + 40t'}\\{y = 17 + 90t'}\\{z = 5 + 105t'}\end{array}} \right.\quad (t' \in \mathbb{R})\].
Mà điểm \[D\]cách mặt đất \[26\,{\rm{m}}\] nên điểm \[D\] có cao độ bằng \[26\]
\[ \Rightarrow \]\[5 + 105t' = 26 \Leftrightarrow t' = \frac{1}{5} \Rightarrow D\left( {23\,;35\,;26} \right)\]. \[C\left( {15\,;17\,;5} \right)\]
Khi đó độ dài \[CD = \sqrt {{{\left( {15 - 23} \right)}^2} + {{\left( {17 - 35} \right)}^2} + {{\left( {5 - 26} \right)}^2}} \approx 28,8\,\,{\rm{(m)}}.\]
Đáp án: 28,8.