Trong một cuộc thi về “bữa ăn dinh dưỡng”, ban tổ chức yêu cầu để đảm bảo lượng dinh dưỡng hằng ngày thì mỗi gia đình có 4 thành viên cần ít nhất 900 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipít.

Đáp án: \(3\).

Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số kg thịt bò và thịt heo mà người nội trợ cần mua (\(x,\,y \ge 0\)).

Dựa vào dữ kiện đề bài, ta có các điều kiện ràng buộc sau:

Tổng lượng prôtêin từ thịt bò và thịt heo phải đạt ít nhất 900 đơn vị.

\(800x + 600y \ge 900 \Leftrightarrow 8x + 6y \ge 9\quad \left( 1 \right)\)

Tổng lượng lipít phải đạt ít nhất 400 đơn vị.

\(200x + 400y \ge 400 \Leftrightarrow x + 2y \ge 2\quad \left( 2 \right)\)

Người nội trợ chỉ được chi không quá 200 nghìn đồng.

\(200x + 100y \le 200 \Leftrightarrow 2x + y \le 2\quad \left( 3 \right)\)

Ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8x + 6y \ge 9}\\{x + 2y \ge 2}\\{2x + y \le 2}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\)

Hàm chi phí mua thức ăn (đơn vị: nghìn đồng) là: \(T\left( {x,y} \right) = 200x + 100y\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] được giới hạn bởi các đường thẳng \({d_1}:8x + 6y = 9\), \({d_2}:x + 2y = 2\), \({d_3}:2x + y = 2\) và trục tung \(Oy\).

Tìm tọa độ các giao điểm thỏa mãn tất cả các điều kiện của hệ:

Giao của \({d_1}\) và trục \(Oy\): \(6y = 9 \Rightarrow y = 1,5 \Rightarrow A\left( {0\,;\,1,5} \right)\).

Kiểm tra vào \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\): \(0 + 2\,.\,1,5 \ge 2\) (Đúng); \(2\,.\,0 + 1,5 \le 2\) (Đúng).

Vậy \(A\) là một đỉnh của miền nghiệm.

Giao của \({d_3}\) và trục \(Oy\): \(y = 2 \Rightarrow B\left( {0\,;\,2} \right)\).

Kiểm tra vào \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\): \(8\,.\,0 + 6\,.\,2 \ge 9\) (Đúng); \(0 + 2\,.\,2 \ge 2\) (Đúng).

Vậy \(B\) là một đỉnh của miền nghiệm.

Giao của \({d_1}\) và \({d_2}\): Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8x + 6y = 9}\\{x + 2y = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,6\\y = 0,7\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {0,6\,;\,0,7} \right)\).

Kiểm tra vào \(\left( 3 \right)\): \(2\,.\,0,6 + 0.7 \le 2\) (Đúng).

Vậy \(C\) là một đỉnh của miền nghiệm.

Giao của \({d_2}\) và \({d_3}\): Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = 2}\\{2x + y = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow x = y = \frac{2}{3} \Rightarrow D\left( {\frac{2}{3}\,;\,\frac{2}{3}} \right)\).

Kiểm tra vào \(\left( 1 \right)\): \(8\,.\,\frac{2}{3} + 6\,.\,\frac{2}{3} \ge 9\) (Đúng).

Vậy \(D\) là một đỉnh của miền nghiệm.

Thay tọa độ các đỉnh vào hàm \(T\left( {x,y} \right)\), ta được:

Tại \(A\left( {0\,;\,1,5} \right)\): \(T = 200\,.\,0 + 100\,.\,1,5 = 150\) nghìn đồng.

Tại \[C\left( {0,6\,;\,0,7} \right)\]: \[T = 200\,.\,0,6) + 100\,.\,0,7 = 190\] nghìn đồng.

Tại \(D\left( {\frac{2}{3}\,;\,\frac{2}{3}} \right)\): \(T = 200\,.\,\frac{2}{3} + 100\,.\,\frac{2}{3} = 200\) nghìn đồng.

Tại \[B\left( {0\,;\,2} \right)\]: \[T = 200\,.\,0 + 100\,.\,2 = 200\] nghìn đồng.

Ta có \(T{\left( {x,y} \right)_{\min }} = 150\) khi \(x = 0\) và \(y = 1,5\).

Vậy \(x + 2y = 0 + 2\,.\,1,5 = 3\).