Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, 9 lít nước và 210 gam đường để pha chế nước ngọt loại I và nước ngọt loại II. Để pha chế 1 lít nước ngọt loại I

Đáp án: \(640\).

Giả sử \(x\), \(y\) lần lượt là số lít nước ngọt loại II và loại I mà mỗi đội cần pha chế.

Suy ra \[30x + 10y\] là số gam đường cần dùng;

\(x + y\) là số lít nước cần dùng;

\[x + 4y\] là số gam hương liệu cần dùng.

Theo giả thiết ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\30x + 10y \le 210\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + y \le 21\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\end{array} \right.\)   (*)

Số điểm thưởng nhận được sẽ là \[P\left( {x;y} \right) = 60x + 80y\].

Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) với \[x,{\rm{ }}y\] thỏa mãn (∗)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là là ngũ giác OBCDE với \[O\left( {0;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0;6} \right)\], \[C\left( {4;5} \right)\],\[D\left( {6;3} \right),{\rm{ }}E\left( {7;0} \right)\].

Biểu thức \[P = 60x + 80y\;\] đạt GTLN tại \[\left( {x;y} \right)\] là tọa độ một trong các đỉnh của ngũ giác.

Thay lần lượt tọa độ các điểm \[O,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D,{\rm{ }}E\;\] vào biểu thức \[P\left( {x;y} \right)\] ta được:

\[P\left( {0;0} \right) = 0;{\rm{ }}P\left( {0;6} \right) = 480;{\rm{ }}P\left( {4;5} \right) = 640;{\rm{ }}P\left( {6;3} \right) = 600;{\rm{ }}P\left( {7;0} \right) = 420\].

Vậy số điểm thưởng cao nhất là 640 khi \(x = 4;y = 5\).