Trong một cuộc thi đấu Robotics, sân đấu được thiết kế dạng lưới ô vuông như hình vẽ. Các robot xuất phát từ vị trí điểm A , di chuyển ngẫu nhiên theo cạnh của các ô vuông theo hướng xuống d

Đáp án: \(0,42\).

Quan sát hình vẽ, để đi từ điểm \(A\) đến điểm \(B\), robot luôn phải thực hiện 6 bước đi ngang và 4 bước đi xuống, tổng cộng 10 bước di chuyển.

Mỗi đường đi từ \(A\) đến \(B\) tương ứng với một cách sắp xếp vị trí cho 4 bước dọc trong tổng số 10 bước di chuyển.

Vậy tổng số đường đi có thể có từ \(A\) đến \(B\) là: \(n\left( \Omega  \right) = C_{10}^4 = 210\) đường đi.

Quan sát hình vẽ, ta thấy:

- Điểm \(M\) nằm ở vị trí cách \(A\) 2 bước ngang và 2 bước dọc.

- Điểm \(N\) nằm ở vị trí cách \(A\) 3 bước ngang và 3 bước dọc.

Gọi \(H\) là biến cố “Không đi qua cả \(M\) và \(N\)”. Khi đó \(\overline H \) là biến cố “Đi qua \(M\) hoặc \(N\)”.

TH1: Số đường đi qua \(M\)

Từ \(A\) đến \(M\) (cần 2 ngang, 2 dọc): Số cách đi là \(C_4^2 = 6\).

Từ \(M\) đến \(B\) (còn lại 4 ngang, 2 dọc): Số cách đi là \(C_6^2 = 15\).

Tổng số đường đi qua \(M\) là: \(6\,.\,15 = 90\) đường đi.

TH2: Số đường đi qua \(N\)

Từ \(A\) đến \(N\) (cần 3 ngang, 3 dọc): Số cách đi là \(C_6^3 = 20\).

Từ \(N\) đến \(B\) (còn lại 3 ngang, 1 dọc): Số cách đi là \(C_4^1 = 4\).

Tổng số đường đi qua \(N\) là: \(20\,.\,4 = 80\) đường đi.

TH3: Số đường đi qua cả \(M\) và \(N\)

Từ \(A\) đến \(M\): Có 6 cách.

Từ \(M\) đến \(N\) (cần 1 ngang, 1 dọc): Có \(C_2^1 = 2\) cách.

Từ \(N\) đến \(B\): Có 4 cách.

Tổng số đường đi qua cả \(M\) và \(N\) là: \(6\,.\,2\,.\,4 = 48\) đường đi.

Vậy, số đường đi qua \(M\) hoặc qua \(N\) là:

\(n\left( {M \cup N} \right) = n\left( M \right) + n\left( N \right) - n\left( {M \cap N} \right) = 90 + 80 - 48 = 122\) đường đi.

Số đường đi từ \(A\) đến \(B\) mà không đi qua cả \(M\) và \(N\) là: \(210 - 122 = 88\) đường đi.

Xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{88}}{{210}} \approx 0,42\).