Trong một cửa hàng, nhà quản lý dự định treo một đồ trang trí trên cao. Vật trang trí được đặt trên giá đỡ nằm dưới thanh treo 1 m. Biết khoảng cách giữa hai thanh treo là

Sơ đồ dây xích được treo từ hai điểm cố định (hai đầu thanh treo) xuống một điểm trên giá đỡ tạo thành mô hình dạng chữ Y ngược hoặc hai đoạn thẳng nối từ hai đầu thanh treo đến vật.

Từ hình vẽ, khoảng cách giữa 2 điểm treo cố định là \(3{\rm{\;m}}\). Khoảng cách thẳng đứng xuống thanh đỡ là \(1{\rm{\;m}}\). Do tính chất đối xứng, tổng chiều dài dây nhỏ nhất đạt được khi điểm móc ở chính giữa cấu trúc đối xứng.

Đoạn xích gồm 4 nhánh chéo nối từ thanh ngang dài \(3{\rm{\;m}}\) xuống trục giữa, và 2 đoạn thẳng đứng đi xuống vật trang trí.

Gọi chiều cao của tam giác cân tạo bởi 2 dây chéo là \(h\) (\(0 \le h \le 1\)). Khi đó phần dây thẳng đứng còn lại là \(1 - h\).

Độ dài một nhánh dây chéo (theo định lý Pythagore với nửa cạnh ngang là \(1,5{\rm{\;m}}\)):

\({d_{ch\'e o}} = \sqrt {{{\left( {1,5} \right)}^2} + {h^2}} = \sqrt {2,25 + {h^2}} \).

Tổng độ dài các đoạn xích là: \(L\left( h \right) = 2\left( {2\sqrt {2,25 + {h^2}} + 1 - h} \right) = 2\left( {\sqrt {9 + 4{h^2}} + 1 - h} \right)\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(L\left( h \right)\) bằng đạo hàm: \(L'\left( h \right) = 2\left( {\frac{{4h}}{{\sqrt {9 + 4{h^2}} }} - 1} \right)\).

\(L'\left( h \right) = 0 \Leftrightarrow 4h = \sqrt {9 + 4{h^2}} \Leftrightarrow 16{h^2} = 9 + 4{h^2} \Leftrightarrow 12{h^2} = 9 \Leftrightarrow {h^2} = \frac{3}{4} \Rightarrow h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Giá trị nhỏ nhất của \(L\): \(L\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2\left( {\sqrt {9 + 4 \cdot \frac{3}{4}} + 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2\left( {\sqrt {12} + 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2 + 3\sqrt 3 \).

Tức là \(a = 2,b = 3,c = 3 \Rightarrow a + b + c = 8\).

Đáp số: 8.