Trong một chương trình giáo lưu âm nhạc đón tết vui xuân, ban đầu với sự tham dự của 2100 khán giả. Ban tổ chức đã thống kê số lượng khán giả ở lại sân khấu xem âm nhạc theo thời gian, được

Đáp án: 1050.

+ Ta có hàm số liên tục theo \(t \in \left[ {0;\, + \infty } \right)\): \(f'\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}2100 - 400t,\,0 \le t \le 3\\a{\left( {t - 3} \right)^2} + b,\,t > 3\end{array} \right.\) nên

\(f'\left( {{3^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f'\left( t \right) \Leftrightarrow 2100 - 400.3 = a{\left( {3 - 3} \right)^2} + b \Leftrightarrow b = 900\).

+ Sau 3 giờ 30 phút số lượng khán giả ở lại sân khấu là \(875\) nên

\(f'\left( {3,5} \right) = 875 \Leftrightarrow a{\left( {3,5 - 3} \right)^2} + 900 = 875 \Leftrightarrow a =  - 100\).

Khi đó ta được \(f'\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}2100 - 400t,\,0 \le t \le 3\\ - 100{\left( {t - 3} \right)^2} + 900,\,t > 3\end{array} \right.\)

+ Khi khán giả ra về hết thì \(f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow  - 100{\left( {t - 3} \right)^2} + 900 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 3} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\,(tm)\\t = 0\,(l)\end{array} \right.\).

+ Khán giả trung bình mỗi giờ

\(\overline f  = \frac{1}{6}\left[ {\int\limits_0^3 {\left( {2100 - 400t} \right)dx}  + \int\limits_3^6 {\left( { - 100{{\left( {t - 3} \right)}^2} + 900} \right)dx} } \right] = 1050\).