Trong một cảnh dựng phim có một ngôi nhà, mái nhà là hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao là 2 mét. Trong hệ tọa độ Oxyz (đơn vị đo trên các trục tính bằng mét) với các điểm ở đáy là A(6
16/22
Trong một cảnh dựng phim có một ngôi nhà, mái nhà là hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có chiều cao là \(2\) mét. Trong hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị đo trên các trục tính bằng mét) với các điểm ở đáy là \(A\left( {6;\,4;\,2} \right)\),\(B\left( {6;\,6;\,2} \right)\),\(C\left( {4;\,6;\,2} \right)\) và \(D\left( {4;\,4;\,2} \right)\), trong đó \(S\) là đỉnh của mái nhà 
Đáy của mái nhà nằm trên mặt phẳng \(z - 2 = 0\)
Tọa độ đỉnh của mái nhà là \(S\left( {5;\,4;\,5} \right)\)
Mặt nghiêng của mái nhà \(\left( {SBC} \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) một góc \(\varphi \) thì \(\cos \varphi = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)
Một đèn chiếu sáng điểm được đặt tại vị trí \(L\left( {5;\,10;\,2} \right)\) để chiếu sáng mái nhà từ bên phải. Một màn chắn đặt trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\), trên đó sẽ xuất hiện bóng của mái nhà và chiếc bóng đó có diện tích bằng \(10\)m2
Xét mệnh đề a)
Đáy của mái nhà nằm trên mặt phẳng \(z = 2 \Leftrightarrow z - 2 = 0\)
Xét mệnh đề b)
Khối chóp \(S.ABCD\) là một tứ giác đều nên \(ABCD\) là một hình vuông
Gọi \(H\) là hình chiếu của đỉnh \(S\) xuống \(\left( {ABCD} \right)\) thì \(H\) là tâm của hình vuông \(ABCD\)
Khi đó \(H = \frac{{A + C}}{2} = \left( {5;\,5;\,2} \right)\) nên tọa độ \(S\left( {5;\,5;4} \right)\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có phương trình \(y = 0\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;\,1;\,0} \right)\)
Một vectơ pháp tuyến của \(\left( {SBC} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ;\,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {0;\,4;\,2} \right)\)
Khi đó: \[\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\] nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Ta có: \(\overrightarrow {LB} = \left( {1;\, - 4;\,0} \right);\,\overrightarrow {LC} = \left( { - 1;\, - 4;\,0} \right)\) và \(\overrightarrow {LS} = \left( {0;\, - 5;\,2} \right)\)
Do các điểm \(S',\,B',\,C'\) đều thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) nên \(y = 0\)
Phương trình tham số của đường thẳng \(LB:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + t\\y = 6 - 4t\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow 6 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 1,5 \Rightarrow B'\left( {7,5;\,0;\,2} \right)\)
Phương trình tham số của đường thẳng \(LC:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - t\\y = 6 - 4t\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow 6 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 1,5 \Rightarrow C'\left( {2,5;\,0;\,2} \right)\)
Phương trình tham số của đường thẳng \(LS:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5 - 5t\\z = 4 + 2t\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 5 - 5t = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow S'\left( {5;\,0;\,6} \right)\)
Vậy diện tích của hình chiếu là: \({S_{S'B'C'}} = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {S'C'} ;\,\overrightarrow {S'B'} } \right| = 10\)(m2) nên mệnh đề d) đúng