Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 8 m, rộng 6 m và cao 4 m có 2 cây quạt treo tường.

Vì \[M\] thuộc mặt phẳng sàn nhà có chiều dài 8 m, rộng 6 m nên \[M\left( {x;y;0} \right)\] với \[0 \le x \le 8,0 \le y \le 6\].

Cây quạt \[A\] treo chính giữa bức tường 8 m và cách trần 1 m, cây quạt \[B\] treo chính giữa bức tường 6 m và cách trần 1,5 m.

Suy ra \[A\left( {4;0;3} \right),B\left( {0,3,\frac{5}{2}} \right)\].

Ta có: \[\overrightarrow {MA}  = \left( {4 - x, - y,3} \right),\overrightarrow {MB}  = \left( { - x,3 - y,\frac{5}{2}} \right)\], \[\left| {\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB} } \right| = \sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 6} \right)}^2} + 4} \].

Để \[\left| {\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB} } \right|\] nhỏ nhất thì \[{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2}\] nhỏ nhất.

Ta có: \[{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} \ge {\left( {0 + 4} \right)^2} + 0 = 16\].

Dấu bằng xảy ra khi \[x = 0,y = 6\].

Vậy \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = {0^2} + {6^2} + {0^2} = 36\].

Đáp án: 36.