Trong một căn phòng có 2025 bóng đèn, được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 2025. Ban đầu, tất cả các đèn còn đang tắt. Cứ sau mỗi phút, các đèn lại thay đổi trạng thái với quy luật:

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Vận dụng tính chia hết của số nguyên.

Lời giải

Để một bóng đèn trong căn phòng đó sau 2025 phút còn bật thì nó phải trải qua một số lẻ lần thay đổi trạng thái.

Từ đề bài, ta có thể suy ra rằng đèn đánh số \(s\) sẽ thay đổi trạng thái tại phút thứ \(i\) nếu \(i\) là ước số của \(s\). Khi đó, nếu sau 2025 phút đèn \(s\) còn sáng thì \(s\) là một số có lẻ ước nguyên dương.

Nhận thấy nếu \(i\) là một ước nguyên dương của \(s\) thì \(\frac{s}{i}\) cũng là một ước nguyên dương của \(s\). Để số ước nguyên của \(s\) là lẻ thì phải tồn tại \(i\) nguyên dương sao cho \(i = \frac{s}{i}\), tức là \(s\) phải là một số chính phương.

Như vậy, tất cả các đèn được đánh số chính phương sẽ còn bật sau 2025 phút, và những đèn còn lại sẽ tắt.

Có \(2025 = {45^2}\) nên có tất cả 45 số chính phương từ 1 đến 2025 , tức là 45 đèn bật và từ đó ta suy ra còn 2025 - 45 = 1980 đèn tắt sau 2025 phút