Trong một buổi cắm trại bên bờ hồ, các đội thi đua chạy từ lều chỉ huy A cách bờ hồ 20 m đến hồ lấy nước và mang về lều chỉ huy B cách bờ hồ 50 m.

Trả lời: 80,6.

Vẽ \(AC \bot BF\). Ta có \(CF = 20\;m,BC = 30\;m\). Suy ra \(EF = AC = 40\;m\).

Gọi \(D\) là điểm ở bờ hồ \[EF\] mà các đội đến lấy nước.

Đặt \(ED = x\) thì \(DF = 40 - x;AD = \sqrt {{x^2} + 400} \);

\(BD = \sqrt {{{(40 - x)}^2} + 2500} \).

Quãng đường mỗi lượt các đội phải đi là

\(s = AD + BD = \sqrt {{x^2} + 400} + \sqrt {{{(40 - x)}^2} + 2500} \).

Xét hàm số \(f(x) = \sqrt {{x^2} + 400} + \sqrt {{{(40 - x)}^2} + 2500} (0 \le x \le 40)\).

Ta có \({f^\prime }(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 400} }} - \frac{{40 - x}}{{\sqrt {{{(40 - x)}^2} + 2500} }}\);

\({f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 400} }} = \frac{{40 - x}}{{\sqrt {{{(40 - x)}^2} + 2500} }} \Leftrightarrow 2500{x^2} - {[20(40 - x)]^2} = 0 \Leftrightarrow x \approx 11,4\)

Lập bảng biến thiên, ta thấy \(s\) nhỏ nhất là khoảng \(80,6\;m\) khi \(x \approx 11,4\;m\).

Vậy đoạn đường đi ngắn nhất mỗi lượt các đội có thể đi là khoảng \(80,6\;m\).